Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение касательной к графику функции




ѕример 1. ƒана функци€ f (x) = 3 x 2 + 4 x Ц 5. Ќапишем уравнение касательной к графику функции f (x) в точке графика с абсциссой x 0 = 1.

–ешение. ѕроизводна€ функции f (x) существует дл€ любого x R. Ќайдем ее:

= (3 x 2 + 4 x Ц 5)′ = 6 x + 4.

“огда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. ”равнение касательной имеет вид:

y = (x 0) (x Ц x 0) + f (x 0),

y = 10(x Ц 1) + 2,

y = 10 x Ц 8.

ќтвет. y = 10 x Ц 8.

ѕример 2. ƒана функци€ f (x) = x 3 Ц 3 x 2 + 2 x + 5. Ќапишем уравнение касательной к графику функции f (x), параллельной пр€мой y = 2 x Ц 11.

–ешение. ѕроизводна€ функции f (x) существует дл€ любого x R. Ќайдем ее:

= (x 3 Ц 3 x 2 + 2 x + 5)′ = 3 x 2 Ц 6 x + 2.

“ак как касательна€ к графику функции f (x) в точке с абсциссой x 0 параллельна пр€мой y = 2 x Ц 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Ќайдем эту абсциссу из услови€, что 3 x Ц 6 x 0 + 2 = 2. Ёто равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. “ак как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то пр€ма€ y = 2 x + b касаетс€ графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

¬ первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b, откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b, откуда b = 1.

»так, существует две касательные y = 2 x + 5 и y = 2 x + 1 к графику функции f (x), параллельные пр€мой y = 2 x Ц 11.

ќтвет. y = 2 x + 5, y = 2 x + 1.

ѕример 3. ƒана функци€ f (x) = x 2 Ц 6 x + 7. Ќапишем уравнение касательной к графику функции f (x), проход€щей через точку A (2; Ц5).

–ешение. “ак как f (2) Ц5, то точка A не принадлежит графику функции f (x). ѕусть x 0 Ч абсцисса точки касани€.

ѕроизводна€ функции f (x) существует дл€ любого x R. Ќайдем ее:

= (x 2 Ц 6 x + 1)′ = 2 x Ц 6.

“огда f (x 0) = x Ц 6 x 0 + 7; (x 0) = 2 x 0 Ц 6. ”равнение касательной имеет вид:

y = (2 x 0 Ц 6)(x Ц x 0) + x Ц 6 x + 7,

y = (2 x 0 Ц 6) x Ц x + 7.

“ак как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

Ц5 = (2 x 0 Ц 6)×2Ц x + 7,

откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Ёто означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x).

≈сли x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = Ц6 x + 7. ≈сли x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2 x Ц 9.

ќтвет. y = Ц6 x + 7, y = 2 x Ц 9.

ѕример 4. ƒаны функции f (x) = x 2 Ц 2 x + 2 и g (x) = Ц x 2 Ц 3. Ќапишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

–ешение. ѕусть x 1 Ч абсцисса точки касани€ искомой пр€мой с графиком функции f (x), а x 2 Ч абсцисса точки касани€ той же пр€мой с графиком функции g (x).

ѕроизводна€ функции f (x) существует дл€ любого x R. Ќайдем ее:

= (x 2 Ц 2 x + 2)′ = 2 x Ц 2.

“огда f (x 1) = x Ц 2 x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 Ц 2. ”равнение касательной имеет вид:

y = (2 x 1 Ц 2)(x Ц x 1) + x Ц 2 x 1 + 2,

y = (2 x 1 Ц 2) x Ц x + 2. (1)

Ќайдем производную функции g (x):

= (Ц x 2 Ц 3)′ = Ц2 x.

“огда g (x 2) = Ц x Ц 3; (x 2) = Ц2 x 2. ”равнение касательной имеет вид:

y = Ц2 x 2 (x Ц x 2) Ц x Ц 3,

y = Ц2 x 2 x + x Ц 3. (2)

ќчевидно, что уравнени€ (1) и (2) €вл€ютс€ уравнени€ми одной и той же пр€мой при выполнении двух условий: 2 x 1 Ц 2 = Ц2 x 2 и Ц x + 2 = x Ц 3. –ешив систему двух уравнений с двум€ неизвестными x 1 и x 2, получим или x 1 = 2, x 2 = Ц1, или x 1 = Ц1, x 2 = 2. Ёто означает, что существует две общие касательные к графикам функций f (x) и g (x). ѕодставив x 2 = Ц1, затем x 2 = 2 в уравнение (2), получим уравнени€ двух касательных: y = 2 x Ц 2 и y = Ц4 x + 1.

ќтвет. y = 2 x Ц 2, y = Ц4 x + 1.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5577 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќасто€ща€ ответственность бывает только личной. © ‘азиль »скандер
==> читать все изречени€...

2121 - | 1851 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.