Уравнение касательной к графику функции

Пример 1. Дана функция f (x) = 3 x ² + 4 x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x) в точке графика с абсциссой x ₀ = 1.

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (3 x ² + 4 x – 5)′ = 6 x + 4.

Тогда f (x ₀) = f (1) = 2; (x ₀) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:

y = (x ₀) (x – x ₀) + f (x ₀),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10 x – 8.

Ответ. y = 10 x – 8.

Пример 2. Дана функция f (x) = x ³ – 3 x ² + 2 x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x), параллельной прямой y = 2 x – 11.

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x ³ – 3 x ² + 2 x + 5)′ = 3 x ² – 6 x + 2.

Так как касательная к графику функции f (x) в точке с абсциссой x ₀ параллельна прямой y = 2 x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x ₀) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3 x – 6 x ₀ + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x ₀ = 0 и при x ₀ = 2. Так как в том и в другом случае f (x ₀) = 5, то прямая y = 2 x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b, откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b, откуда b = 1.

Итак, существует две касательные y = 2 x + 5 и y = 2 x + 1 к графику функции f (x), параллельные прямой y = 2 x – 11.

Ответ. y = 2 x + 5, y = 2 x + 1.

Пример 3. Дана функция f (x) = x ² – 6 x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x), проходящей через точку A (2; –5).

Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x). Пусть x ₀ — абсцисса точки касания.

Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x ² – 6 x + 1)′ = 2 x – 6.

Тогда f (x ₀) = x – 6 x ₀ + 7; (x ₀) = 2 x ₀ – 6. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2 x ₀ – 6)(x – x ₀) + x – 6 x + 7,

y = (2 x ₀ – 6) x – x + 7.

Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

–5 = (2 x ₀ – 6)×2– x + 7,

откуда x ₀ = 0 или x ₀ = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x).

Если x ₀ = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6 x + 7. Если x ₀ = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2 x – 9.

Ответ. y = –6 x + 7, y = 2 x – 9.

Пример 4. Даны функции f (x) = x ² – 2 x + 2 и g (x) = – x ² – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

Решение. Пусть x ₁ — абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x), а x ₂ — абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x).

Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x ² – 2 x + 2)′ = 2 x – 2.

Тогда f (x ₁) = x – 2 x ₁ + 2; (x ₁) = 2 x ₁ – 2. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2 x ₁ – 2)(x – x ₁) + x – 2 x ₁ + 2,

y = (2 x ₁ – 2) x – x + 2. (1)

Найдем производную функции g (x):

= (– x ² – 3)′ = –2 x.

Тогда g (x ₂) = – x – 3; (x ₂) = –2 x ₂. Уравнение касательной имеет вид:

y = –2 x ₂ (x – x ₂) – x – 3,

y = –2 x ₂ x + x – 3. (2)

Очевидно, что уравнения (1) и (2) являются уравнениями одной и той же прямой при выполнении двух условий: 2 x ₁ – 2 = –2 x ₂ и – x + 2 = x – 3. Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными x ₁ и x ₂, получим или x ₁ = 2, x ₂ = –1, или x ₁ = –1, x ₂ = 2. Это означает, что существует две общие касательные к графикам функций f (x) и g (x). Подставив x ₂ = –1, затем x ₂ = 2 в уравнение (2), получим уравнения двух касательных: y = 2 x – 2 и y = –4 x + 1.

Ответ. y = 2 x – 2, y = –4 x + 1.