Лекции.Орг


Поиск:




Максимум и минимум функции на отрезке




Пример 1. Дана функция f (x) = x 3 – 6 x 2 + 9 x + 7. Найдем:

а) критические точки функции f (x) на отрезке [–2; 2];

б) наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2].

Решение. а) Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x 3 – 6 x 2 + 9 x + 7)′ = 3 x 2 – 12 x + 9.

Найдем точки, в которых = 0. Для этого решим уравнение

3 x 2 – 12 x + 9 = 0. (1)

Уравнение (1) имеет два корня: 1 и 3. Из этих чисел только число 1 является внутренней точкой отрезка [–2; 2]. Поэтому x = 1 — единственная критическая точка функции f (x) на отрезке [–2; 2].

б) Вычислим значения функции f (x) на концах отрезка и в критической точке:

f (–2) = (–2)3 – 6×(–2)2 + 9×(–2) + 7 = –43;

f (1) = 13 – 6×12 + 9×1 + 7 = 11;

f (2) = 23 – 6×22 + 9×2 + 7 = 9.

Наибольшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2] равно 11, это значение достигается в точке x = 1; наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2] равно –43, это значение достигается в точке x = –2:

f (x) = f (1) = 11; f (x) = f (–2) = –43.

Ответ. а) x = 1; б) f (x) = 11; f (x) = –43.

Пример 2. Дана функция f (x) = x 2 – 3 . Найдем:

а) критические точки функции f (x) на отрезке [–1; 8];

б) наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x 0 (см. п. 13). Следовательно, она существует в любой точке отрезка [–1; 8], кроме точки x = 0. Поэтому x = 0 — критическая точка функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Для любого x 0 найдем производную функции f (x): = 2 x.

Найдем точки, в которых = 0. Для этого решим уравнение

2 x = 0. (2)

Уравнение (2) имеет два корня: 1 и –1. Из этих чисел только число 1 является внутренней точкой отрезка [–1; 8]. Поэтому x = 1 — еще одна критическая точка функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Итак, функция f (x) на отрезке [–1; 8] имеет две критические точки: x = 0 и x = 1.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке вычислим ее значения на концах отрезка и в каждой критической точке:

f (–1) = (–1)2 – 3 = –2;

f (0) = 02 – 3 = 0;

f (1) = 12 – 3 = –2;

f (8) = 82 – 3 = 52.

Итак, f (x) = f (8) = 52, f (x) = f (–1) = f (1) = –2.

Ответ. а) x = 0 и x = 1; б) f (x) = 52, f (x) = –2.

Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = x 5 – 10 x 3 + 50 x – 10 на отрезке [–1; 1].

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x 5 – 10 x 3 + 50 x – 10)′ = 5 x 4 – 30 x 2 + 50.

Производная функции f (x) не обращается в нуль ни для какого x, так как 5 x 4 – 30 x 2 + 50 =
= 5(x 4 – 6 x 2 + 9) + 5 = 5(x 2 – 3)2 + 5 > 0 для любого действительного числа x. Следовательно, функция f (x) не имеет критических точек, наибольшее и наименьшее значение на отрезке
[–1; 1] она достигает на концах этого отрезка.

Вычислим значения функции f (x) на концах отрезка:

f (–1) = (–1)5 – 10×(–1)3 + 50×(–1) – 10 = –51;

f (1) = 15 – 10×13 + 50×1 – 10 = 31;

Итак, f (x) = f (1) = 31, f (x) = f (–1) = –51.

Ответ. f (x) = 31, f (x) = –51.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1746 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать. © Ральф Уолдо Эмерсон
==> читать все изречения...

818 - | 777 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.