Максимум и минимум функции на отрезке

Пример 1. Дана функция f (x) = x ³ – 6 x ² + 9 x + 7. Найдем:

а) критические точки функции f (x) на отрезке [–2; 2];

б) наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2].

Решение. а) Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x ³ – 6 x ² + 9 x + 7)′ = 3 x ² – 12 x + 9.

Найдем точки, в которых = 0. Для этого решим уравнение

3 x ² – 12 x + 9 = 0. (1)

Уравнение (1) имеет два корня: 1 и 3. Из этих чисел только число 1 является внутренней точкой отрезка [–2; 2]. Поэтому x = 1 — единственная критическая точка функции f (x) на отрезке [–2; 2].

б) Вычислим значения функции f (x) на концах отрезка и в критической точке:

f (–2) = (–2)³ – 6×(–2)² + 9×(–2) + 7 = –43;

f (1) = 1³ – 6×1² + 9×1 + 7 = 11;

f (2) = 2³ – 6×2² + 9×2 + 7 = 9.

Наибольшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2] равно 11, это значение достигается в точке x = 1; наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–2; 2] равно –43, это значение достигается в точке x = –2:

f (x) = f (1) = 11; f (x) = f (–2) = –43.

Ответ. а) x = 1; б) f (x) = 11; f (x) = –43.

Пример 2. Дана функция f (x) = x ² – 3 . Найдем:

а) критические точки функции f (x) на отрезке [–1; 8];

б) наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x 0 (см. п. 13). Следовательно, она существует в любой точке отрезка [–1; 8], кроме точки x = 0. Поэтому x = 0 — критическая точка функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Для любого x 0 найдем производную функции f (x): = 2 x – .

Найдем точки, в которых = 0. Для этого решим уравнение

2 x – = 0. (2)

Уравнение (2) имеет два корня: 1 и –1. Из этих чисел только число 1 является внутренней точкой отрезка [–1; 8]. Поэтому x = 1 — еще одна критическая точка функции f (x) на отрезке [–1; 8].

Итак, функция f (x) на отрезке [–1; 8] имеет две критические точки: x = 0 и x = 1.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке вычислим ее значения на концах отрезка и в каждой критической точке:

f (–1) = (–1)² – 3 = –2;

f (0) = 0² – 3 = 0;

f (1) = 1² – 3 = –2;

f (8) = 8² – 3 = 52.

Итак, f (x) = f (8) = 52, f (x) = f (–1) = f (1) = –2.

Ответ. а) x = 0 и x = 1; б) f (x) = 52, f (x) = –2.

Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = x ⁵ – 10 x ³ + 50 x – 10 на отрезке [–1; 1].

Решение. Производная функции f (x) существует для любого x R. Найдем ее:

= (x ⁵ – 10 x ³ + 50 x – 10)′ = 5 x ⁴ – 30 x ² + 50.

Производная функции f (x) не обращается в нуль ни для какого x, так как 5 x ⁴ – 30 x ² + 50 =
= 5(x ⁴ – 6 x ² + 9) + 5 = 5(x ² – 3)² + 5 > 0 для любого действительного числа x. Следовательно, функция f (x) не имеет критических точек, наибольшее и наименьшее значение на отрезке
[–1; 1] она достигает на концах этого отрезка.

Вычислим значения функции f (x) на концах отрезка:

f (–1) = (–1)⁵ – 10×(–1)³ + 50×(–1) – 10 = –51;

f (1) = 1⁵ – 10×1³ + 50×1 – 10 = 31;

Итак, f (x) = f (1) = 31, f (x) = f (–1) = –51.

Ответ. f (x) = 31, f (x) = –51.