Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 ривизна




ƒл€ разных направлений в заданной точке поверхности получаетс€ разна€ кривизна нормального сечени€, котора€ называетс€ нормальной кривизной; ей приписываетс€ знак плюс, если главна€ нормаль кривой идЄт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направлени€ нормалей противоположны.

¬ообще говор€, в каждой точке поверхности существуют два перпендикул€рных направлени€ и , в которых нормальна€ кривизна принимает минимальное и максимальное значени€; эти направлени€ называютс€ главными. »сключение составл€ет случай, когда нормальна€ кривизна по всем направлени€м одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращени€), тогда все направлени€ в точке Ч главные.

ѕоверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.

Ќормальные кривизны в главных направлени€х называютс€ главными кривизнами; обозначим их и . ¬еличина:

называетс€ гауссовой кривизной, полной кривизной или просто кривизной поверхности. ¬стречаетс€ также термин скал€р кривизны, который подразумевает результатсвЄртки тензора кривизны; при этом скал€р кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

√ауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она €вл€етс€ объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относ€тс€). ѕо знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок).  ривизна плоскости равна нулю.  ривизна сферы радиуса R всюду равна . —уществует и поверхность посто€нной отрицательной кривизны Ч псевдосфера.

[править] √еодезические линии, геодезическа€ кривизна

ќсновна€ стать€: √еодезическа€

 рива€ на поверхности называетс€ геодезической линией, или просто геодезической, если во всех еЄ точках главна€ нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. ѕример: на плоскости геодезическими будут пр€мые и отрезки пр€мых, на сфере Ч большие круги и их отрезки.

Ёквивалентное определение: у геодезической линии проекци€ еЄ главной нормали на касательную плоскость есть нулевой вектор. ≈сли крива€ не €вл€етс€ геодезической, то указанна€ проекци€ ненулева€; еЄ длина называетс€ геодезической кривизной кривой на поверхности. »меет место соотношение:

,

где Ч кривизна данной кривой, Ч кривизна еЄ нормального сечени€ с той же касательной.

√еодезические линии относ€тс€ к внутренней геометрии. ѕеречислим их главные свойства.

Ј „ерез данную точку поверхности в заданном направлении проходит одна и только одна геодезическа€.

Ј Ќа достаточно малом участке поверхности две точки всегда можно соединить геодезической, и притом только одной. ѕо€снение: на сфере противоположные полюса соедин€ет бесконечное количество меридианов, а две близкие точки можно соединить не только отрезком большого круга, но и его дополнением до полной окружности, так что однозначность соблюдаетс€ только в малом.

Ј √еодезическа€ €вл€етс€ кратчайшей. Ѕолее строго: на малом куске поверхности кратчайший путь между заданными точками лежит по геодезической.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 718 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ы никогда не пересечете океан, если не наберетесь мужества потер€ть берег из виду. © ’ристофор  олумб
==> читать все изречени€...

1946 - | 1787 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.