Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетрика и внутренн€€ геометри€




¬новь рассмотрим гладкую кривую:

.

Ёлемент еЄ длины определ€етс€ из соотношени€:

,

где .

Ёта квадратична€ форма называетс€ первой квадратичной формой и представл€ет собой двумерный вариант метрики поверхности. ƒл€ регул€рной поверхности еЄ дискриминант во всех точках.  оэффициент в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. ¬ частности, на плоскости с декартовыми координатами получаетс€ метрика (теорема ѕифагора).

√еликоид

 атеноид

ћетрика не определ€ет однозначно форму поверхности. Ќапример, метрикигеликоида икатеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их област€ми существует соответствие, сохран€ющее все длины (изометри€). —войства, сохран€ющиес€ при изометрических преобразовани€х, называютс€ внутренней геометрией поверхности. ¬нутренн€€ геометри€ не зависит от положени€ поверхности в пространстве и не мен€етс€ при еЄ изгибании без раст€жени€ и сжати€ (например, при изгибании цилиндра в конус)[1].

ћетрические коэффициенты определ€ют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). ѕоэтому всЄ, что зависит только от метрики, относитс€ к внутренней геометрии.

[править] Ќормаль и нормальное сечение

¬екторы нормали в точках поверхности

ќдной из основных характеристик поверхности €вл€етс€ еЄ нормаль Ч единичный вектор, перпендикул€рный касательной плоскости в заданной точке:

.

«нак нормали зависит от выбора координат.

—ечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль (в данной точке), образует некоторую кривую на поверхности, котора€ называетс€ нормальным сечением поверхности. √лавна€ нормаль дл€ нормального сечени€ совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

≈сли же крива€ на поверхности не €вл€етс€ нормальным сечением, то еЄ главна€ нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол . “огда кривизна кривой св€зана с кривизной нормального сечени€ (с той же касательной) формулой ћЄнье:

 оординаты орта нормали дл€ разных способов задани€ поверхности приведены в таблице:

   оординаты нормали в точке поверхности
не€вное задание
€вное задание
параметрическое задание

«десь .

¬се производные берутс€ в точке .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 460 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

526 - | 425 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.