Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“еоремы –олл€ и Ћагранжа




“еорема –олл€. ≈сли функци€ f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если f(a) = f(b) то внутри интервала [а, b] найдетс€ хот€ бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что f ' (x0) = 0.

ƒоказательство. –ассмотрим два случа€.

1. ‘ункци€ f(x) посто€нна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 дл€ любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы –олл€ выполн€етс€ автоматически.

2. ‘ункци€ f(x) не €вл€етс€ посто€нной (–исунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функци€ f(x) примет внутри интервала.

–ис.1 –ис.2

ѕусть например f(x0) - наибольшее значение функции f(x) на интервале [а, b] и x0 - внутренн€€ точка этого интервала. “огда f(x0) €вл€етс€ максимумом функции: f(x0) ≥ f(x) дл€ всех x из достаточно малой окрестности x0 [за эту окрестность можно впрочем, вз€ть интервал (а, b)].

“ак как, по условию, f(x) имеет в точке x0 производную, то по теореме о необходимом признаке экстремума, f ' (x0) = 0, и теорема –олл€ доказана.

“еорема –олл€ имеет простое геометрическое толкование: если дана дуга AB кривой y = f(x), в каждой точке которой существует касательна€, причем концы A и B наход€тс€ на одинаковом рассто€нии от оси Ox, то на этой дуге найдетс€ по крайней мере одна точка, в которой касательна€ t к кривой будет параллельна ст€гивающей дугу хорде, а следовательно и оси Ox (смотри рисунок 1).

≈сли повернуть оси координат на угол a, то концы A и B дуги AB уже не будут находитс€ на одинаковом рассто€нии от оси Ox', но касательна€ t по прежнему будет параллельна хорде AB (смотри рисунок 1). ѕоэтому естественно ожидать, что имеет место теорема:

≈сли дана дуга AB кривой y = f(x) с непрерывно измен€ющейс€ касательной, то на этой дуге найдетс€ хот€ бы одна точка, в которой касательна€ параллельна ст€гивающей ее хорде AB (–исунок 2).

Ёта теорема €вл€етс€ геометрической перефразировкой следующей теоремы, известной под названием теоремы Ћагранжа.

“еорема Ћагранжа. ≈сли функци€ f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдетс€ хот€ бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

ƒоказательство. –ассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - k(x - a), где

- угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).

Ёта функци€ удовлетвор€ет всем услови€м теоремы –олл€.

¬ самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = b имеем

 роме того, так как функци€ f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b] и диференцируемы в (a, b), то и функци€ F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [a, b] и диференцируема в (a, b).

—ледовательно, по теореме –олл€, в интервале (a, b) найдетс€ така€ точка x0, что F'(x0) = 0, т.е. f ' (x0) - k = 0 или

ќтсюда имеем

f(b) - f(a) = (b - a)f ' (x0),

что и требовалось доказать.

“ак как a + (b - a) = b, то величина a + Q(b - a), где Q - правильна€ положительна€ дробь (0 < Q < 1), равна какому-то числу в интервале (a, b), поэтому формулу Ћагранжа можно записать в виде

f(b) - f(a) = (b - a)f ' [a + Q(b - a)]

≈сли положить a = x, b = x + Dx, откуда b - a = Dx, то формула Ћагранжа запишетс€ в виде

Dy = f(x + Dx) - f(x) = Dxf ' (x + QDx).

–анее было доказано, что если функци€ равна посто€нной C при любом значении x в интервале (a, b), то ее производна€ равна нулю.

ƒокажем теперь обратную теорему, €вл€ющуюс€ следствием теоремы Ћагранжа:

≈сли производна€ f ' (x) обращаетс€ в нуль дл€ любых значений x в интервале (a, b), то в этом интервале f(x) = C.

¬ самом деле, если x1 и x2 - два любых значени€ в интервале (a, b), то в силу теоремы Ћагранжа, имеем f(x2) - f(x1) = (x2 - x1)f'(x0), где, x1 < x0 < x2. Ќо так как f'(x0) = 0, то f(x2) - f(x1) = 0, что и доказывает нашу теорему.

ќтсюда непосредственно вытекает важна€ теорема:

≈сли две функции f1 (x) и f2 (x) имеют одну и ту же производную в интервале (a, b), то они на данном интервале отличаютс€ друг от друга на посто€нную величину.

¬ самом деле, рассмотрим функцию j(x) = f2(x) - f1(x). “огда дл€ любого значени€ x из интервала (a, b) j'(x) = f2'(x) - f1'(x) = 0. Ќо это означает, что j(x) = C и, следовательно f2(x) - f1(x) = —.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 726 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент может не знать в двух случа€х: не знал, или забыл. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2394 - | 2001 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.