Формула производной степенной функции имеет вид 
, где показатель степени p – любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
При доказательстве формулы для любого действительного p воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции, а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.
Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.
Сначала будем полагать 
. В этом случае 
. Выполним логарифмирование равенства 
по основанию e и применим свойство логарифма:
Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
Осталось провести доказательство для отрицательных x.
Когда показатель p представляет собой четное число или рациональную дробь с нечетным знаменателем и четным числителем, то степенная функция определена и при 
, причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть, 
. В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.
Когда показатель p представляет собой нечетное число или рациональную дробь с нечетным знаменателем и нечетным числителем, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, 
. В этом случае 
и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции: 
Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число или рациональную дробь с нечетным знаменателем и нечетным числителем, то p-1 либо четное число, либо рациональная дробь с нечетным знаменателем и четным числителем, поэтому 
.Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.
