Уравнения переноса
Общая форма:
Здесь ρ - плотность чего-либо, D - коэффициент диффузии, V - скорость переноса ("конвективного").
Примеры:
Уравнение Нернста-Планка (закон сохранения массы, числа частиц):
Уравнение теплопроводности (закон сохранения энергии):
Здесь k - теплопроводность [Вт/(м·К)], C - удельная теплоемкость [Дж/(м3·К)], Q - объемный источник тепла [Вт/м3].
Уравнение Навье-Стокса (закон сохранения импульса), для x -компоненты скорости, приближение несжимаемой среды:
Здесь η - динамическая вязкость [Па·с], ρgd - плотность среды [кг/м3], P - давление [Па].
Уравнение диффузии
В одномерном случае:
Рассмотрим набор узлов x 1, x 2,... x n. Расстояние между соседними узлами равно h:
x j- x j-1= h
(1)
Для анализа на устойчивость представим искомую функцию в виде некоторого решения R (x, t) и возмущения ε(x, t):
Поскольку R j(t) - решение, для него выполнено:
Подставим решение с возмущением в уравнение (1):
(2)
Поскольку уравнение линейное однородное, его можно разложить в ряд Фурье. Поэтому рассмотрим одну Фурье-компоненту:
В начальный момент времени:
Любое начальное возмущение можно разложить в ряд по таким "элементарным" возмущениям с разными волновыми числами k.
Подставляя "элементарное" возмущение в уравнение (2), получаем:
Любое возмущение затухает:
Таким образом, уравнение диффузии безусловно устойчиво по отношению к пространственным возмущениям.
