Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Решаем простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул




Если вы не поленилсь и осилили предыдущий урок - решение уравнений по тригонометрическому кругу - я вас обрадую.) Решение по формулам будет вам понятно за пять минут. Можете засекать время.)

Итак, начнём с косинуса, он попроще будет. Вспомним решение тригонометрического уравнения cosx = 2/3 из предыдущего урока.

Там у нас в ответе получились две серии корней:

х1 = arccos 2/3 + 2πn, n Z

х2 = - arccos 2/3 + 2πn, n Z

Нам ничего не мешает записать эти две серии одной строчкой:

х= ± arccos 2/3 + 2πn, n Z

И всё! Это выражение - просто сокращённая запись ответа через плюс/минус.

Теперь рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом в общем виде:

cosx = а

Нарисуем на круге углы с косинусом, равным а. Вот так:

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2 π n, n Z

х 2 = - arccos a + 2 π n, n Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2πn, n Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1)narcsin a + πn, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли...)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

sinx = 0,5

В ответе получились две серии корней:

х1 = π/6 + 2πn, n Z

х2 = 5π/6 + 2πn, n Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1)narcsin 0,5 + πn, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π/6. Полноценный ответ будет:

х = (-1)n π/6 + πn, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х1; х2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х2, получаем:

х2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х. Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1)n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1)narcsin 0,3 + πn, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2πn, n Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + πn, n Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + πn, n Z

И так далее. Очень удобно. Разумеется, думать никто не отменял.) Даже при использовании готовых формул. Скажем, вам надо решить вот такое уравнение:

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2πn, n Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 866 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Сложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © Амелия Эрхарт
==> читать все изречения...

2175 - | 2065 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.