Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–ешаем простейшие тригонометрические уравнени€ с помощью формул




≈сли вы не поленилсь и осилили предыдущий урок - решение уравнений по тригонометрическому кругу - € вас обрадую.) –ешение по формулам будет вам пон€тно за п€ть минут. ћожете засекать врем€.)

»так, начнЄм с косинуса, он попроще будет. ¬спомним решение тригонометрического уравнени€ cosx = 2/3 из предыдущего урока.

“ам у нас в ответе получились две серии корней:

х1 = arccos 2/3 + 2πn, n Z

х2 = - arccos 2/3 + 2πn, n Z

Ќам ничего не мешает записать эти две серии одной строчкой:

х= ± arccos 2/3 + 2πn, n Z

» всЄ! Ёто выражение - просто сокращЄнна€ запись ответа через плюс/минус.

“еперь рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом в общем виде:

cosx = а

Ќарисуем на круге углы с косинусом, равным а. ¬от так:

ќдин угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

» так будет получатьс€ всегда. ѕри любом а.

≈сли не верите, наведите курсор мышки на картинку.) я изменил число а на какое-то отрицательное. ¬сЄ равно, один угол у нас получилс€ arccos a, второй: -arccos a.

—ледовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2 π n, n Z

х 2 = - arccos a + 2 π n, n Z

ќбъедин€ем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2πn, n Z

» все дела. ѕолучили общую формулу дл€ решени€ простейшего тригонометрического уравнени€ с косинусом.

≈сли вы понимаете, что это не кака€-то сверхнаучна€ мудрость, а просто сокращЄнна€ запись двух серий ответов, вам и задани€ "—" будут по плечу. — неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... “ам ответ с плюсом/минусом не катит. ј если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всЄ и решаетс€.) —обственно, дл€ этого и разбираемс€. „то, как и откуда.

¬ простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получаетс€ две серии корней. ¬сегда. » эти две серии тоже можно записать одной строчкой. “олько эта строчка похитрее будет:

х = (-1)narcsin a + πn, n ∈ Z

Ќо суть остаЄтс€ прежней. ћатематики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. » всЄ!

ѕроверим математиков? ј то мало ли...)

¬ предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо вс€ких формул) тригонометрического уравнени€ с синусом:

sinx = 0,5

¬ ответе получились две серии корней:

х1 = π/6 + 2πn, n Z

х2 = 5π/6 + 2πn, n Z

≈сли мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1)narcsin 0,5 + πn, n ∈ Z

¬ообще-то, это недоделанный ответ.) ”ченик об€зан знать, что arcsin 0,5 = π/6. ѕолноценный ответ будет:

х = (-1)n π/6 + πn, n ∈ Z

“ут возникает интересный вопрос. ќтвет через х1; х2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? —ейчас узнаем.)

ѕодставл€ем в ответ с х1 значени€ n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

ѕри такой же подстановке в ответ с х2, получаем:

х2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

ј теперь подставл€ем значени€ n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу дл€ одинокого х. “.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ќу и, разумеетс€, во второе слагаемое подставл€ем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. » считаем. ѕолучаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

¬от всЄ и видно.) ќбща€ формула выдаЄт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. “олько все сразу, по пор€дочку. Ќе обманули математики.)

‘ормулы дл€ решени€ тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Ќо не будем.) ќни и так простенькие.

я расписал всю эту подстановку и проверку специально. «десь важно пон€ть одну простую вещь: формулы дл€ решени€ элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, кратка€ запись ответов. ƒл€ этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение дл€ косинуса и (-1)n в решение дл€ синуса.

Ёти вставки никак не мешают в задани€х, где нужно просто записать ответ элементарного уравнени€. Ќо если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, провер€ть на ќƒ« и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

» что делать? ƒа либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. “огда исчезают эти вставочки и жизнь становитс€ легче.)

ћожно подвести итоги.

ƒл€ решени€ простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. „етыре штуки. ќни хороши дл€ мгновенной записи решени€ уравнени€. Ќапример, надо решить уравнени€:

sinx = 0,3

Ћегко: х = (-1)narcsin 0,3 + πn, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ѕез проблем: х = ± arccos 0,2 + 2πn, n Z

tgx = 1,2

«апросто: х = arctg 1,2 + πn, n Z

ctgx = 3,7

ќдной левой: x= arcctg3,7 + πn, n Z

» так далее. ќчень удобно. –азумеетс€, думать никто не отмен€л.) ƒаже при использовании готовых формул. —кажем, вам надо решить вот такое уравнение:

cos x = 1,8

≈сли вы, блиста€ знани€ми, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2πn, n Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) ѕравильный ответ: решений нет. Ќе понимаете, почему? ѕрочитайте, что такое арккосинус.  роме того, если в правой части исходного уравнени€ сто€т табличные значени€ синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. јрки нужно об€зательно перевести в радианы.

ј если уж вам попалось неравенство, типа





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 833 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

471 - | 454 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.