Тригонометрические уравнения. Основные методы решений
Тригонометрические уравнения.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
(метод замены переменной и подстановки).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.
Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0,
sin x · cos x – sin 2 x = 0,
sin x · (cos x – sin x) = 0,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x,
2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x,
cos 4 x · (cos 2 x – cos 4 x) = 0,
cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0,
1). cos 4 x = 0, 2). sin 3 x = 0, 3). sin x = 0,
| 3. | Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos (или sin) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan.
П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0, отсюда y 2 + 4 y +3 = 0,
корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
|
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =
= 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2),
2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0,
tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0,
..........
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р. Решить уравнение: 2 sin 2 x · sin 6 x = cos 4 x.
Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x,
cos 8 x = 0,
8 x = p / 2 + p k,
x = p / 16 + p k / 8.
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3.
Таким образом, решение даёт только первый случай
