В ряде случаев весьма удобным приемом уточнения корня уравнения является метод последовательных приближений (метод итераций).
Пусть с точностью 
необходимо найти корень уравнения f(x)=0, принадлежащий интервалу изоляции [a,b]. Функция f(x) и ее первая производная непрерывны на этом отрезке.
Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 должно быть приведено к виду
| (4.2) |
В качестве начального приближения 0 выбираем любую точку интервала [a,b].
Далее итерационный процесс поиска корня строится по схеме:
| (4.3) |
В результате итерационный процесс поиска реализуется рекуррентной формулой (4.3). Процесс поиска прекращается, как только выполняется условие
| (4.4) |
или число итераций превысит заданное число N.
Для того, чтобы последовательность х1, х2,…, хn приближалась к искомому корню, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости:
|
Рис. 4.6. Геометрический смысл метода
Переходим к построению схемы алгоритма (рис. 4.7). Вычисление функции 
оформим в виде подпрограммы.
Рис. 4.7. Схема алгоритма уточнения корня методом итераций
Метод Ньютона (метод касательных)
Рассмотренные ранее методы решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].
Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.
Дано нелинейное уравнение:
f(x)=0
Найти корень на интервале [a,b] с точностью .
Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осью Х дает приближение корня (Рис. 4.8).
Выберем начальную точку x0=b (конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осью Х дает нам первое приближение корня x1.
Рис. 4.8.
x1 = x0 – h0,
где
Поэтому
В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой
| (4.6) |
Процесс поиска продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие:
| (4.7) |
Упростим условие (4.7), исходя из (4.6). Получим:
| (4.8) |
Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие:
| (4.9) |
т.е. первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a,b], где знаки функции f(x0) и ее кривизны f"(x0) совпадают.
Схема алгоритма уточнения корня метод Ньютона приведена на рис. 4.9
Рис. 4.9. Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона
Модифицированный метод Ньютона (метод секущих)
В этом методе для вычисления производных на каждом шаге поиска используется численное дифференцирование по формуле:
Тогда рекуррентная формула (4.6) будет иметь вид:
| (4.10) |
где 
