Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод половинного делени€




„исленные методы решени€ нелинейных уравнений

 

≈сли законы функционировани€ модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы (т.е. имеют одну независимую переменную), то така€ модель, как правило, описываетс€ одним нелинейным уравнением.

Ќеобходимость отыскани€ корней нелинейных уравнений встречаетс€ в расчетах систем автоматического управлени€ и регулировани€, собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза, плоских и пространственных механизмов и других задачах.

ƒано нелинейное уравнение:

(4.1)

Ќеобходимо решить это уравнение, т. е. найти его корень .

 

–ис. 4.1.

 

≈сли функци€ имеет вид многочлена степени m,

где ai - коэффициенты многочлена, , то уравнение f(x)=0 имеет m корней (рис. 4.2).

–ис. 4.2.

 

≈сли функци€ f(x) включает в себ€ тригонометрические или экспоненциальные функции от некоторого аргумента x, то уравнение (4.1) называетс€ трансцендентным уравнением.

 

ѕримеры:

 

“акие уравнени€ обычно имеют бесконечное множество решений.

 ак известно, не вс€кое уравнение может быть решено точно. ¬ первую очередь это относитс€ к большинству трансцендентных уравнений.

ƒоказано также, что нельз€ построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные алгебраические уравнени€ степени, выше четвертой.

ќднако точное решение уравнени€ не всегда €вл€етс€ необходимым. «адачу отыскани€ корней уравнени€ можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнени€ с заданной степенью точности. ƒл€ этого используютс€ приближенные (численные) методы решени€.

Ѕольшинство употребл€ющихс€ приближенных методов решени€ уравнений €вл€ютс€, по существу, способами уточнени€ корней. ƒл€ их применени€ необходимо знание интервала изол€ции [a,b], в котором лежит уточн€емый корень уравнени€ (рис. 4.3).

–ис. 4.3.

 

ѕроцесс определени€ интервала изол€ции [a,b], содержащего только один из корней уравнени€, называетс€ отделением этого корн€.

ѕроцесс отделени€ корней провод€т исход€ из физического смысла прикладной задачи, графически, с помощью таблиц значений функции f(x) или при помощи специальной программы отделени€ корней. ѕроцедура отделени€ корней основана на известном свойстве непрерывных функций: если функци€ непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b)<0, то между точками a и b имеетс€ хот€ бы один корень уравнени€ (1). ≈сли при этом знак функции f'(x) на отрезке [a,b] не мен€етс€, то корень €вл€етс€ единственным на этом отрезке.

ѕроцесс определени€ корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:

отделение корней, - т.е. определение интервалов изол€ции [a,b], внутри которого лежит каждый корень уравнени€;

уточнение корней, - т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности .

ƒл€ алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнени€ приближенных значений действительных корней:

метод половинного делени€ (метод дихотомии);

метод простых итераций;

метод Ќьютона (метод касательных);

модифицированный метод Ќьютона (метод секущих);

метод хорд и др.

 

ћетод половинного делени€

ƒано нелинейное уравнение:

(4.1)

Ќайти корень уравнени€, принадлежащий интервалу [a,b], с заданной точностью .

ƒл€ уточнени€ корн€ методом половинного делени€ последовательно осуществл€ем следующие операции:

ƒелим интервал пополам:

¬ качестве нового интервала изол€ции принимаем ту половину интервала, на концах которого функци€ имеет разные знаки (рис.4.4).

 

ƒл€ этого:

a) ¬ычисл€ем значение функции f(x) в точках a и t.

b) ѕровер€ем: если f(a)f(t) < 0, то корень находитс€ в левой половине интервала [a,b] (рис.4.4.а). “огда отбрасываем правую половину интервала и делаем переприсвоение b=t.

c) ≈сли f(a)f(t) < 0 не выполн€етс€, то корень находитс€ в правой половине интервала [a,b] (рис.4.4.б). “огда отбрасываем левую половину и делаем переприсвоение a=t. ¬ обоих случа€х мы получим новый интервал [a,b] в 2 раза меньший предыдущего.

ѕроцесс, начина€ с пункта 1, циклически повтор€ем до тех пор, пока длина интервала [a,b] не станет равной либо меньшей заданной точности, т.е.

—хема алгоритма уточнени€ корней по методу половинного делени€ представлена на рис. 4.5.

–ис. 4.5. —хема алгоритма уточнени€ корней по методу половинного делени€

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1465 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќе будет большим злом, если студент впадет в заблуждение; если же ошибаютс€ великие умы, мир дорого оплачивает их ошибки. © Ќикола “есла
==> читать все изречени€...

2359 - | 2091 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.