Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


„астные производные




“ема 2.4 ‘ункции нескольких переменных.

ќсновные пон€ти€.

ѕри рассмотрении многих вопросов из различных областей знани€ приходитс€ изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значени€ одной из них полностью определ€ютс€ значени€ми нескольких других.

Ќапример, изуча€ физическое состо€ние какого-либо тела, приходитс€ наблюдать изменение его свойств от точки к точке.  ажда€ точка тела задаетс€ трем€ координатами: x, y, z. ѕоэтому, изуча€, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. ≈сли физическое состо€ние тела к тому же еще и мен€етс€ с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

ƒругой пример: изучаютс€ издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. ѕусть:

x - затраты по материалам,

y - расходы на выплату заработной платы работникам,

z - амортизационные отчислени€.

ќчевидно, что издержки производства завис€т от значений названных параметров x, y, z.

ќпределение. ≈сли каждой совокупности значений n переменных из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своЄ единственное значение переменной z, то говор€т, что на множестве D задана функци€ n переменных.

ћножество D называетс€ областью определени€ или областью существовани€ этой функции.

≈сли рассматриваетс€ функци€ двух переменных, то совокупности чисел

обозначаютс€, как правило, (x, y) и интерпретируютс€ как точки координатной плоскости Oxy, а область определени€ функции z = f (x, y) двух переменных изобразитс€ в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

“ак, например, областью определени€ функции

€вл€етс€ множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетвор€ют соотношению

т. е. представл€ет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

ƒл€ функции

областью определени€ служат точки, которые удовлетвор€ют условию т. е. внешние точки по отношению к заданному кругу.

„асто функции двух переменных задаютс€ в не€вном виде, т. е. как уравнение

,св€зывающее три переменные величины. ¬ этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как не€вную функцию двух остальных.

√еометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) €вл€етс€ множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетвор€ют уравнению z = f (x, y) (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.).

√рафиком функции непрерывных аргументов, как правило, €вл€етс€ некотора€ поверхность в пространстве Oxyz, котора€ проектируетс€ на координатную плоскость Oxy в область определени€ функции z= f (x, y).

“ак, например, графиком функции €вл€етс€ верхн€€ половина сферы, а графиком функции - нижн€€ половина сферы:

 

 

√рафиком линейной функции z = ax + by + с €вл€етс€ плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельна€ координатной плоскости Oxyz.

«аметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить нагл€дно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

 

„астные производные.

ќпределение. „астной производной от функции по независимой переменной называетс€ производна€

, вычисленна€ при посто€нном .

“о есть когда мы находим частную производную по Ђиксї, то переменна€ считаетс€ константой (посто€нным числом).

„астной производной от функции по независимой переменной называетс€ производна€

, вычисленна€ при посто€нном .

“о есть когда мы находим частную производную по Ђигрекї, то переменна€ считаетс€ константой (посто€нным числом).

ƒл€ частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцировани€.

—ледующий пример демонстрирует применение частных производных на практике:

 оличественна€ величина потока ѕ пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где ѕ Ц количество пассажиров, N Ц число жителей корреспондирующих пунктов, R Ц рассто€нии между пунктами.

„астна€ производна€ функции ѕ по R, равна€

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату рассто€ни€ между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

„астна€ производна€ ѕ по N, равна€

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населЄнных пунктов при одном и том же рассто€нии между пунктами.

ѕримеры.

а) Ќайти частные производные функции

–ешение.

1.—читаем переменную y константой и примен€ем правила дифференцировани€:

2. »спользуем табличные производные:

3. “еперь считаем переменную х константой и примен€ем те же правила дифференцировани€ и табличные производные:

б) Ќайти частные производные функции

–ешение.

1. —читаем переменную y константой, примен€ем правило дифференцировани€ сложной функции, правило дифференцировани€ суммы, правило вынесение посто€нного множител€ за знак производной и табличную производную:

2. “еперь считаем переменную х константой и примен€ем те же правила дифференцировани€ и табличные производные:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1171 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2197 - | 2057 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.