Стандартные методы решения уравнений с модулем

Прежде всего давайте разберёмся, к чему мы должны стремиться при решении уравнений с модулем? Ответ напрашивается: первым делом мы должны избавиться или убрать модульные скобки, проще говоря раскрыть их, после чего мы получим простое уравнение, которое без труда решим. Как же их можно раскрыть?

Вспоминаем геометрический смысл и определение модуля:

1. Метод интервалов или универсальный метод.

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от знака модуля, используя его определение. Для этого следует:

1) Найти критические точки, т.е. значение неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль; (Каждое выражение, стоящее под знаком модуля, приравнять к 0 и решить уравнение);

2) Расставить полученные точки (корни) на числовой прямой и разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых, выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;

3) На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.

4) Проверяем полученные корни на принадлежность рассматриваемому промежутку.

Если на каком-либо промежутке при решении уравнения получится верное числовое равенство, то решением будет весь рассматриваемый промежуток!

Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного уравнения.

2. Метод замены уравнения совокупностью уравнений.

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, методом замены уравнения совокупностью уравнений необходимо освободиться от знака модуля, используя его геометрический смысл. Для этого следует:

1) Привести уравнение к виду: |f(x) |=g(x).

2) Учесть, что g(x)≥0.

3) Решить совокупность уравнений:

4) Сделать проверку корней условию: g(x)≥0

Запомните, если в уравнении: |f(x) |=g(x) функция без модулем g(x) имеет более простой вид, нежели функция с модулем: f(x), то имеет смысл исходное уравнение решать вторым методом. В частности, используя геометрический смысл модуля, решается уравнение: |f(x) |=с, при с>0. В других случаях используем метод интервалов.

1. Уравнения вида: |f(x)|=с, с>0-постоянное число.

Простейший вид уравнений с модулем, так как выражение без модуля проще, чем с модулем, целесообразней решать такие уравнения вторым методом:

|x²+5x+6|=2

Так как всегда 2>0, то уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

x²+5x+6=2 → x²+5x+4=0 → х₁=-1 и х₂=-4

x²+5x+6=-2 → x²+5x+8=0 → D<0 → нет действительных корней.

Ответ: х₁=-1 и х₂=-4