Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение состо€ни€




”равнение неразрывности

”равнение Ѕернулли

”равнение энергии

уравнение состо€ни€

дл€ анализа изменени€ скорости в результате геометрического (dF/F),расходного (dm/m), теплового (dqe), механического (dℓt) воздействий и воздействи€ трени€ (dℓr) получим

 

(***)

 

Ђƒл€его вывода в качестве исходных берутс€ следующие уравнени€:

 

уравнение Ѕернулли (см.2.13)

(7.1)

 

уравнение состо€ни€ газа (1.38), которое в дифференциальной форме имеет вид:

 

dр= Rρdt + R“dρ, (7.2)

 

уравнение энергии (2.6), которое после замены может быть записано как

 

(7.3)

 

уравнение массового расхода (1.15), которое после логарифмировани€ и дифференцировани€ приобретает вид

 

(7.4)

 

а также формула скорости звука

(7.5)

 

—ущество вывода состоит в том, что в уравнении (7.1) делаютс€ замены величин, в результате которых в нем остаютс€ только скорость, скорость звука и физические воздействи€ dF, dmсек, dL, dLr, dQe. Ёто достигаетс€ путем замены в уравнении (7.1) его значением, найденным из уравнени€ (7.2), причем в последнем Rd“ находитс€ из уравнени€ (7.3), из уравнени€ (7.4), а R“ из уравнени€ (7.5). “огда уравнение (7.1) приобретает вид

 

 

ѕривед€ подобные члены, соберем в левую часть все величины, содержащие скорость, а в правую Ч физические воздействи€. ѕосле сокращени€ обеих частей на а2/ k и замены w/a=ћ, получим

 

(7.6)

 

‘ормула (7.6) (тоже самое, что и (***) Ц ¬.√.) называетс€ уравнением обращени€ воздействий. ќно выражает так называемый закон обращени€ воздействий. —огласно этому закону, дл€ непрерывного изменени€ скорости газа в одну сторону за счет только одного физического воздействи€ необходимо, чтобы знак этого воздействи€ мен€лс€ на обратный в момент перехода через скорость звука. ≈сли в процессе участвуют сразу несколько физических воздействий, то в момент перехода через скорость звука знак их суммы должен изменитьс€ на обратный. ”равнение обращени€ воздействи€ позвол€ет определить какой знак должно иметь то или иное воздействие дл€ ускорени€ или торможени€ дозвуковых или сверхзвуковых потоков.

«акон обращени€ воздействи€ отражает усиливающеес€ вли€ние сжимаемости газа на его движение при увеличении числа ћаха. ѕри переходе через скорость звука (M=1) эти количественные изменени€ переход€т в качественные Ц обращаютс€ воздействи€. ћожно сказать, что закон обращени€ воздействи€ представл€ет собой пример про€влени€ в газовой динамике более общего закона - закона перехода количества в качество.

»з уравнени€ обращени€ воздействий (7.6) легко получить п€ть частных случаев изменени€ скорости потока под вли€нием какогоЦнибудь одного физического воздействи€. ƒл€ этого в уравнении (7.6) все остальные воздействи€ надо положить равными нулю.

“ак, например, если геометрическое воздействие dF 0, а сек=dL = dLr=dQe = 0, то получаетс€ уравнение √югонио

которое было подробно рассмотрено выше.

≈сли вз€ть только одно расходное воздействие dmсек 0, то уравнение (7.6) приобретает такой вид:

(7.7)

“ечение, отвечающее этому уравнению, реализуетс€ внутри расходного сопла. ≈го схема дана на рисунке 131. ќно представл€ет собой трубу или канал посто€нного сечени€, имеющий на боковых стенках систему отверстий, через которые подвод€тс€ в основной поток дополнительные массы газа или отвод€тс€ из него.

≈сли на входе w1 (ћ1<1) и к потоку подводитс€ дополнительна€ масса газа (следовательно, расход увеличиваетс€ вдоль потока, сек>0), то дл€ согласовани€ знаков левой и правой части уравнени€ (7.7) необходимо, чтобы dw>0. “аким образом, от входа до критического сечени€ скорость будет нарастать. ¬ критическом сечении ћ=1, значит dmсек / mсек=0, т.е. расход в этом сечении проходит через максимум. «а критическим сечением газ отбираетс€, расход уменьшаетс€ вдоль потока, т.е. dmсек<0. “ак как здесь ћ>1, то из уравнени€ (7.7) получаетс€, что dw>0.

 

–ассматрива€ рис. 131, можно заметить, что основной поток, т.е. масса газа, котора€ поступает в канал через входное сечение F1, имеет форму, напоминающую сопло Ћавал€: сначала поток поджимаетс€, в горле его сечение минимально, за горлом он расшир€етс€. ¬ отличие от геометрического сопла, в расходном поджатие основного потока происходит за счет дополнительной массы газа, котора€ оказывает вытеснительное действие. Ђ—тенкойї дл€ основного потока €вл€етс€ в этом случае граница струи дополнительной массы газа. »зменение параметров основного потока, движущегос€ через расходное сопло, происходит по тем же законам, что и в случае обычного геометрического сопла.

–асходное сопло в том виде, как оно изображено на рис. 131, в технике не примен€етс€, но его отдельные элементы встречаютс€ довольно часто. ѕри течении газа в смесител€х, при подмешивании воздуха в зону горени€ в камерах сгорани€, при отборе газа через отверсти€ в стенках канала и во многих других случа€х наблюдаетс€ эффект расходного воздействи€. ƒл€ получени€ сверхзвуковых потоков в небольших аэродинамических трубах, предназначенных дл€ тарировани€ пневмометрических насадков и приборов, иногда примен€ют комбинированное сопло. ≈го дозвукова€ часть представл€ет собой суживающеес€ геометрическое сопло, а сверхзвукова€ Ч расходное сопло с отбором воздуха. »змен€€ количество отбираемого воздуха, можно регулировать число ћ на выходе, сохран€€ поток Ђчистымї, без скачков.

Ќе следует смешивать расходное сопло и сопло с аэродинамическим поджатием потока. —хема последнего изображена на рис. 132.

»з ресивера 1 через щелевые сопла 2 газ высокого давлени€ вдуваетс€ в основной канал, где поджимает основной поток, в котором образуетс€ Ђгорлої. ѕоджатие здесь получаетс€ не за счет вытеснительного действи€ вдуваемого газа, а за счет его кинетической энергии. ћежду вдуваемой струей и стенкой образуетс€ замкнута€ вихрева€ зона 3.  оличество вдуваемого газа в этом случае получаетс€ меньше, чем дополнительна€ масса, подаваема€ в расходное сопло, поэтому Ђаэродинамическоеїсопло экономичнее Ђрасходногої.

— помощью уравнени€ обращени€ воздействий (7.6) можно аналогичным способом проанализировать и другие виды воздействий. ќни будут рассмотрены ниже. «десь же только отметим еще одну особенность закона обращени€ воздействий.

 

 

¬о всех случа€х, когда физическое воздействие обратимо (т.е. может мен€ть знак на обратный), замена дозвукового вход€щего потока на сверхзвуковой приводит к тому, что сверхзвуковое сопло обращаетс€ в сверхзвуковой диффузор (см. например, дл€ случа€ геометрического воздействи€.

 

–ежимы течени€ газа в канале, имеющем горло

 аналы, имеющие сужение между входным и выходным сечени€ми, или горло, довольно широко примен€ютс€ в технике. ќни используютс€ как сопла Ћавал€ дл€ получени€ сверхзвуковых потоков, как диффузоры дл€ преобразовани€ сверхзвуковых потоков в дозвуковые, как трубки ¬ентури, служащие в качестве датчиков измерительных устройств и систем регулировани€. ѕри этом один и тот же канал может быть и соплом Ћавал€, и трубкой ¬ентури, и сверхзвуковым диффузором в зависимости от того, какие услови€ созданы на входе и выходе. –ассмотрим это более подробно.

Ќа рисунке 24 изображена схема такого канала и графики изменени€ скорости и давлени€ по его длине. ѕлощади поперечного сечени€ канала на входе и на выходе прин€ты одинаковыми, течение Ч энергоизолированным изоэнтропным. ќт входного сечени€ 1 до горла площадь сечени€ уменьшаетс€, т.е. dF<0, в горле она проходит через минимум dF=0, от горла до сечени€ 2 Ч увеличиваетс€, т.е. dF>0. ѕримен€€ уравнение √югонио (2.77), можно заключить, что здесь возможны четыре режима течени€.

 

1. ≈сли поток на входе дозвуковой, ћ<1, то, согласно уравнению (2.77), в суживающейс€ части скорость должна нарастать (dw>0). ≈сли в сечении горла скорость еще не достигла критической, то поток, выйд€ в расшир€ющуюс€ часть, остава€сь дозвуковым, будет двигатьс€ там с уменьшением скорости и ростом давлени€, как в обычном дозвуковом диффузоре. Ётому режиму отвечают кривые 1 на рисунке 24. ¬ этом случае канал работает как трубка ¬ентури.

2. ”слови€ на входе те же, но в сечении горла скорость достигает критического значени€, т.е. ћ=1, переходит его и становитс€ сверхзвуковой. “огда, согласно уравнению (2.77), в расшир€ющейс€ части канала при ћ>1 скорость должна нарастать.  ривые II на рисунке 24 показывают, что по всей длине происходит увеличение скорости и уменьшение давлени€. ѕоток из дозвукового превращаетс€ в сверхзвуковой. Ќа этом режиме канал работает как сопло Ћавал€.

3. ¬ канал входит сверхзвуковой поток, т.е. ћ>1. Ќа основании анализа уравнени€ (2.77) имеем, что в суживающейс€ части скорость должна уменьшатьс€. ≈сли в сечении горла она достигнет критического значени€ (ћ=1) и перейдет его, то в расшир€ющуюс€ часть поступает дозвуковой поток. —ледовательно, от горла до сечени€ 2 течение происходит как в обычном дозвуковом диффузоре Ч с уменьшением скорости и ростом давлени€. Ётому режиму соответствуют кривые III (см. рисунок 24), которые показывают, что на всем прот€жении потока скорость уменьшаетс€, а давление нарастает.  анал работает как диффузор и называетс€ сверхзвуковым диффузором.

4. ”слови€ на входе такие же, как в предыдущем режиме, но в сечении горла скорость еще не достигает критической, а остаетс€ сверхзвуковой Ч ћ>1. — этой скоростью поток минует горло и выходит в расшир€ющуюс€ часть. ¬ соответствии с уравнением (2.77), при ћ>1 и dF>0 скорость будет нарастать, а давление Ч падать. “аким образом, кривые распределени€ скорости и давлени€ IV получаютс€ симметричными первому случаю. —пециального названи€ этот режим не имеет. ¬ действительных услови€х он реализуетс€ лишь частично: от входного сечени€ до горла и на некотором рассто€нии за горлом течение происходит в соответствии с кривыми IV, но затем возникает ударна€ волна и движение перестраиваетс€ Ч поток становитс€ дозвуковым.

≈сли сопоставить между собой первый и второй режимы то можно заметить, что причина их различи€ заключаетс€ в том, достигнет ли скорость в сечении горла критического значени€ или не достигнет. Ёто определ€ет дальнейшую судьбу потока: станет ли он сверхзвуковым или останетс€ дозвуковым. јнализ уравнени€ (2.77) не дает ответа на этот вопрос. ќтвет можно получить, рассматрива€ уравнение неразрывности

ρ1 w1 F1 = ρ w F ,

которое после делени€ обеих частей на ρкр акр и использовани€ формулы (2.78) принимает вид

(2.85)

и выражаетс€ графически на рисунке 23 [3]. ѕусть, например, отношение площадей F1/F2=2. ≈сли на входе в канал λ1=0,2, то, как это следует из рисунка 23, q(λ)=0,31. —огласно уравнению (2.85), имеем . ѕри этом значении λ =0,44, т.е. λ <1, поэтому канал будет работать как трубка ¬ентури. ≈сли увеличить расход газа через канал, то увеличитс€ и скорость во входном сечении. ѕри λ1=0,34 приведенный расход получаетс€ q(λ1)=0,5. “огда по формуле (2.85) находим q(λ )=1, следовательно, λ=1, т. е. канал может работать как сопло Ћавал€.

„тобы у€снить, какие же изменени€ надо произвести в услови€х на сходе и выходе канала, чтобы перейти от первого режима ко второму, достаточно посмотреть на кривые давлений I и II. ¬ трубке ¬ентури разность давлений на входе и выходе равна нулю. (¬ реальных услови€х дл€ преодолени€ потерь на трени€ необходим небольшой перепад давлений.) ¬ случае сопла Ћавал€ на концах канала должен быть приложен значительный перепад давлений.

 ривые, построенные на рисунке 24, относ€тс€ к так называемым расчетным режимам. Ќа этих режимах скорости и давлени€ полностью соответствуют площад€м поперечных сечений канала. “ак, например, при заданных услови€х на входе у сопла Ћавал€ с определенным отношением площадей выходного сечени€ и горла может быть лишь одно вполне определенное значение скорости истечени€ и одно вполне определенное значение давлени€ на выходе. ≈сли давление той среды, в которую происходит истечение, не равно расчетному, то возникает нерасчетный режим. Ќа нерасчетном режиме давление на срезе сопла (т.е. в выходном сечении 2) может оставатьс€ более высоким, чем в окружающей среде. ћогут быть и такие нерасчетные режимы, при которых внутри сопла по€вл€етс€ ударна€ волна, и скорость истечени€ получаетс€ ниже расчетной.

“ечение с трением

 

“рубы и каналы посто€нного поперечного сечени€, как круглой, так и фасонной формы, весьма часто примен€ютс€ в теплоэнергетических установках. ≈сли такой канал неподвижен и теплообмен через стенки отсутствует, то задача его расчета сводитс€ к определению параметров потока газа, движущегос€ в цилиндрической трубе с трением без внешнего теплообмена. ¬ уравнении (7.6) в этом случае нужно учитывать только воздействие трением. “огда

(7.8)

»з уравнени€ (7.8) легко устанавливаетс€ вли€ние трени€ на скорость потока. ѕоскольку всегда dLr>0, то при ћ<1 получаетс€ dw>0, а при ћ>1 dw<0, т.е. в дозвуковом потоке скорость за счет трени€ возрастает, а в сверхзвуковом Ч уменьшаетс€ [4].

ƒл€ выполнени€ расчетов формула (7.8) неудобна. ≈е следует преобразовать, сделав следующие замены. „исло ћ нужно выразить через приведенную скорость λ по формуле (2.55)

отношение dw/w представить как dw/w=dλ/λ, поделив числитель и знаменатель на критическую скорость акр, а работу гидравлических потерь dLr выразить с помощью известной в гидравлике формулы путевых потерь

«аметим, что в энергоизолированном течении, к которому относитс€ рассматриваема€ задача, в силу посто€нства температуры торможени€ критическа€ скорость сохран€ет посто€нное значение вдоль всего потока (поэтому ее можно вносить под знак производной). ¬еличины и D, вход€щие в формулу работы трени€, представл€ют элементарную длину трубы и ее диаметр. ¬ случае некруглого поперечного сечени€ вместо геометрического беретс€ гидравлический диаметр, равный отношению учетверенной площади поперечного сечени€ к смоченному периметру.  оэффициент путевых потерь, иначе называемый коэффициентом сопротивлени€ трубы, зависит от числа –ейнольдса Rе=wD/ν и относительной шероховатости D/kЁ, Ч где kЁЧ средн€€ высота бугорков на обтекаемой поверхности.

—делав соответствующие подстановки в формулу (7.8), получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

\(7.9)

Ёто уравнение легко интегрируетс€ при ζ=соnst. ¬ противном случае решение приходитс€ вести численным методом, так как зависимость ζ=ζ(x) не выражаетс€ в аналитическом виде. ќбратимс€ к экспериментальным данным.

Ќа рис. 133 приведены результаты испытаний большого количества труб с различной относительной шероховатостью, проведенных во всесоюзном теплотехническом институте √.ј.ћуриным.  ривые представл€ют зависимость коэффициента сопротивлени€ круглой трубы от числа –ейнольдса при заданной шероховатости. »з графиков видно, что дл€ одной и той же трубы (т.е. при одной и той же шероховатости) с ростом числа –ейнольдса коэффициент сопротивлени€ падает, но, начина€ с некоторого значени€ Rе=Rепр, он сохран€етс€ посто€нным. ѕравее линии, обозначенной пр, лежит так называема€ автомодельна€ область. ¬ этой области число –ейнольдса уже не вли€ет на коэффициент сопротивлени€, и он зависит только от относительной шероховатости.  ак показывают подсчеты чисел –ейнольдса, в большинстве задач, встречающихс€ в теплоэнергетической практике, значени€ превышают предельные, что дает право считать ζ=соnst дл€ данного канала. “огда, интегриру€ уравнение (7.9) в пределах от λ1 до λ2 и от 0 до х, получим

—группируем в левой части величины с одинаковыми индексами, а в правой обозначим

(7.10)

¬еличина χ называетс€ приведенной длиной трубы. ќна включает в себ€, кроме физической длины и диаметра, еще коэффициент сопротивлени€ и показатель изоэнтропы газа, следовательно, обобщает все индивидуальные особенности течени€. ѕосле небольших преобразований уравнение движени€ газа в трубе приобретает следующий вид:

(7.11)

‘ункции вычисл€ютс€ дл€ всех значений λ и свод€тс€ в таблицы. — применением таких таблиц уравнение (7.11) решаетс€ очень просто.

Ќа рисунке 134 построены графики, рассчитанные по формуле (7.11). ѕользу€сь такими графиками, можно по заданной приведенной скорости на входе в трубу легко найти λ в любом сечении, дл€ которого известна приведенна€ длина. —ледует обратить внимание, что кривые имеют максимум по χ. ѕроверив функцию (7.11) на экстремум, нетрудно убедитьс€, что максимум получаетс€ именно при χ= 1. —уществование этого максимума говорит о том, что заданные услови€ течени€ могут реализоватьс€ в трубе не более определенной конечной длины, при достижении которой наступает так называемый кризис течени€.

 

 ризисом течени€ называетс€ такой режим, при котором на выходе из трубы устанавливаетс€ скорость течени€, равна€ критической. ƒлина трубы, соответствующа€ кризису течени€, называетс€ критической длиной трубы. ≈е приведенна€ величина χкр получаетс€ из уравнени€ (7.11), после подстановки λ2= 1, а именно:

(7.12)

ѕри кризисе течени€ расход газа через трубу достигает наибольшего возможного значени€, а скорость на входе (при дозвуковом течении) не может быть больше той, котора€ получаетс€ на этом режиме. »з рассмотрени€ кривых на рисунке 134 следует, что чем короче труба, тем большую величину имеет λ1кр; при χ=0, т.е. когда труба превращаетс€ в отверстие, λ1кр=1. —оответствующий график изображен на рис. 135.

 

 

 

–ассмотрим возможные режимы течени€ газа по трубе. ≈сли по трубе длиной х пропускать газ с небольшой начальной скоростью, то установитс€ докритический режим течени€, которому на рисунке 136 отвечает крива€ 1. —корость на этом режиме возрастает по длине трубы, а давление Ч падает. ”величива€ расход через трубу, можно повысить скорости во всех ее сечени€х. Ёто повышение возможно лишь до тех пор, пока скорость на выходе не достигнет критической, т.е. не установитс€ кризис течени€.  рива€, соответствующа€ критическому режиму при дозвуковом течении в трубе, обозначена на рисунке 136 цифрой II. «десь также скорость по длине трубы возрастает. ƒальнейшее увеличение расхода через трубу невозможно. ≈сли предположить, что каким-то путем удалось это сделать, то крива€ приведенной скорости подниметс€ и займет положение III. –ассматрива€ эту линию, видим, что уже гдеЦто в середине трубы λ= 1, т.е. скорость должна перейти через скорость звука. “акой переход невозможен, так как согласно уравнению (7.8) работа трени€ должна была бы изменить свой знак на обратный. —ледовательно, если бы режим III даже и возник, то он не мог бы существовать скольЦлибо продолжительное врем€: расход через трубу, а значит и скорости во всех ее сечени€х стали бы уменьшатьс€ до тех пор, пока критическое сечение не переместилось в выходное сечение трубы, т.е. крива€ не зан€ла бы положение II.

 

ѕредставим себе теперь, что в трубу подаетс€ сверхзвуковой поток газа со скоростью, соответствующей начальной точке кривой IV. —огласно уравнению (7.8), скорость по длине трубы будет уменьшатьс€, а давление, поэтому будет возрастать. Ёто Ч сверхкритический режим течени€. ”меньша€ скорость на входе, можно этот режим перевести в сверхзвуковой критический, изображенный кривой V. ƒальнейшее уменьшение входной скорости (начало кривой VI) приводит к такому режиму, на котором непрерывное течение становитс€ невозможным, так как оп€ть критическое сечение должно получитьс€ в середине трубы. ѕоэтому возникает скачок уплотнени€. “аким образом, поток проходит начальный участок трубы со сверхзвуковой скоростью. ¬ некотором сечении по€вл€етс€ пр€мой скачок уплотнени€ аб, за которым течение становитс€ дозвуковым. ќставшийс€ участок пути дозвуковой поток проходит с увеличением скорости до критического значени€ на выходе, т.е. по кривой II. —качок сам выбирает себе место: он располагаетс€ в том сечении, где выполн€етс€ кинематическое соотношение λа λβ=1.

ќпыты, проведенные с трубами, показывают, что в реальных услови€х вместо пр€мого скачка возникают сложные конфигурации косых скачков, раст€нутые по длине потока. ќднако, если не интересоватьс€ их прот€женностью, то расчеты можно вести, основыва€сь на модели пр€мого скачка.

“ермодинамический процесс, соответствующий непрерывному течению газа в трубе, €вл€етс€ довольно сложным. ќн не описываетс€ ни одним из обычно примен€емых уравнений термодинамики. ”словно его можно записать уравнением политропы, счита€, однако, показатель политропы величиной переменной. ≈сли обычное уравнение политропы

или

записать в дифференциальной форме

(7.13)

то, счита€ далее показатель политропы n величиной переменной, можно найти закон его изменени€ по длине трубы в зависимости от местного числа ћ. ƒл€ этого дополнительно используютс€ уравнение неразрывности ρw=соnst и формула температуры торможени€ “*=“+w2/ [ 2Rk/ (kЦ1)]. ѕосле дифференцировани€ при “*=соnst (так как течение энергоизолированное) эти формулы приобретают вид

(7.14)

(7.15)

ѕодставив в уравнение (7.13) значени€ и d“, найденные из формул (7.14) и (7.15), учитыва€, что kR“=а2, получим следующую зависимость показател€ политропы от числа ћ:

n =1+ (k Ц 1) M2. (7.16)

јнализиру€ зависимость (7.16), нетрудно установить, как изобразитс€ этот процесс в диаграмме “S. ƒействительно, если представить дозвуковое течение в начале очень длинной трубы, где скорость весьма мала, т.е. ћ 0, то из уравнени€ (7.16) получаем, что n 1. Ёто соответствует процессу “=соnst. “аким образом, при очень малых скорост€х течение очень близко к изотермному (см. участок политропы вблизи точки 1 на рис. 137). ѕо мере увеличени€ скорости, политропа все более отклон€етс€ от изотермы.  огда скорость достигает критической и ћ=1, то n=k. —ледовательно, касательна€, проведенна€ к политропе, будет в этой точке вертикальной (точка 2 на рис.137), а процесс в критическом сечении (на выходе из трубы) будет изоэнтропным. ѕри сверхзвуковом течении в трубе с очень большой скоростью процесс близок к изохорному (v=соnst), так как если ћ , то n . Ќижн€€ ветвь кривой на рис. 137 относитс€ к сверхзвуковому течению. Ќаправлени€, в которых может идти процесс, указаны стрелками. Ќепрерывный переход через скорость звука внутри трубы, т.е. переход через точку 2 на диаграмме, невозможен, так как при этом энтропи€ должна перейти через максимум и в дальнейшем уменьшатьс€, что противоречит второму закону термодинамики.

 

 

Ќа рисунке 138 построены TS Цдиаграммы дл€ дозвукового (слева) и сверх≠звукового (справа) течени€ в трубе. ќни дают нагл€дное представление о том, как в этих случа€х распредел€етс€ энерги€ и как измен€етс€ давление торможени€.

ѕри ћ<1 скорость по длине трубы за счет трени€ возрастает. ѕри этом падает статическое давление, т.е. газ расшир€етс€. –абота расширени€ газа (вс€ площадь диаграммы) идет, воЦпервых, на увеличение кинетической энергии потока (незаштрихованна€ часть) и, воЦвторых, на преодоление трени€ (горизонтальноЦзаштрихованна€ часть). ƒавление торможени€, как это следует из диаграммы, уменьшаетс€ по длине трубы, р2*<р1*.

ѕри ћ>1 скорость потока по длине трубы за счет трени€ падает, т.е. уменьшаетс€ кинетическа€ энерги€. Ёта Ђосвободивша€с€ї энерги€ изображаетс€ на рисунке138 справа всей площадью фигуры. „асть ее (незаштрихованна€ площадь) идет на сжатие газа, друга€ часть (горизонтальноЦзаштрихованна€ площадка) Ч на преодоление трени€. ƒавление торможени€ по длине трубы падает, р2*<р1*, несмотр€ на то, что статическое давление увеличиваетс€.

≈сли приведенные скорости во всех сечени€х трубы рассчитаны, то определение параметров состо€ни€ газа производитс€ просто. “ак как температура торможени€ посто€нна, то истинна€ температура легко находитс€ с помощью газодинамической функции τ (λ), а именно

(7.17)

ƒавление торможени€ и статическое давление рассчитываютс€ по формулам

 

(7.18)

 

(7.19)

 

Ёти формулы получаютс€ путем приравнивани€ массового расхода на входе и выходе из трубы, записанного по формулам (2.81) и (2.83), при условии “*=соnst, m=соnst, F=соnst.

√рафики зависимости параметров состо€ни€ газа от приведенной скорости, рассчитанные по этим формулам, приведены на рисунке 139. –азрыв кривых при λ =1 имеет не математический, а физический смысл: процесс не допускает непрерывный переход через λ= 1, а идет только в направлении, указанном стрелками.

 

 

 


“ечение газа с подводом и отводом тепла

 

“ечение газа с подводом тепла извне или с отводом тепла во внешнюю охлаждающую среду довольно часто встречаетс€ в теплоэнергетических установках. ¬ качестве примеров можно привести течение газа в теплообменниках, в камерах сгорани€, в испарител€х и т.п. ¬ теплообменниках охлаждающий и охлаждаемый (или нагревающий и нагреваемый) агенты наход€тс€ по разные стороны от раздел€ющей твердой поверхности Ч стенки трубы или канала, следовательно, тепло подводитс€ или отводитс€ через стенку. ¬ камерах сгорани€ подводимое к газу тепло вноситс€ в поток в скрытом виде Ч в форме химической энергии впрыскиваемого топлива. ѕоэтому, несмотр€ на то, что процесс выделени€ тепла происходит в самом потоке, это тепло, по отношению к поступающему в камеру газу, €вл€етс€ внешним. ¬ испарительных устройствах, где в поток газа впрыскиваетс€ вода или друга€ жидкость (например, дл€ понижени€ температуры газов), тепло, затрачиваемое на испарение, беретс€ от самого газа. —ледовательно, оно может рассматриватьс€, как тепло, отведенное во внешнюю среду.

¬се эти виды течени€ можно схематизировать в виде движени€ газа по трубе с внешним теплообменом. ∆ела€ изучить особенности данного течени€ в чистом виде, нужно отбросить все другие воздействи€, кроме теплового, т.е. положить, что труба цилиндрическа€, неподвижна€ и что трение отсутствует. ќбраща€сь к уравнению обращени€ воздействий (7.6), можно записать его дл€ этого частного случа€ в следующем виде:

 

(7.20)

 

»з формулы (7.20) следует, что в дозвуковом потоке (ћ<1) подвод тепла (dQe>0) вызывает рост скорости (dw>0), а в сверхзвуковом (ћ>1) Ч ее падение (dw<0). ќтвод тепла (dQe<0) в дозвуковом потоке (ћ<1) приводит к уменьшению скорости (dw<0), а в сверхзвуковом (ћ>1) Ч к ее увеличению (dw>0).

≈сли в начальном участке трубы подводить тепло, а затем, отводит, то можно получить так называемое тепловое сопло. ≈го схема изображена на рис.140. Ёто сопло преобразует дозвуковой поток в сверхзвуковой.  ритическое сечение получаетс€ в том месте, где мен€етс€ направление теплового потока (в самом критическом сечении тепловой поток равен нулю). ≈сли в такой канал подать сверхзвуковой поток, то его скорость будет понижатьс€, т.е. канал будет работать как сверхзвуковой диффузор.

 

“ермодинамический процесс, происход€щий в газе, протекающем по тепловому соплу, обладает такими же особенност€ми, как и в случае течени€ по цилиндрической трубе с трением, Ч он непрерывно измен€етс€ при переходе от сечени€ к сечению.

¬з€в уравнение политропы p/ρn=const и записав его в дифференциальной форме

(7.21)

 

можно применить его к исследованию данного процесса, положив, что показатель политропы n Ч величина переменна€. ƒл€ установлени€ зависимости n=f(ћ), используем еще уравнение неразрывности (7.14)

 

 

и уравнение Ѕернулли. ѕоследнее дл€ данного вида течени€ (L=0, Lr=0) записываетс€ формулой (2.24), которую можно представить так:

 

(7.22)

 

ѕодставл€€ значени€ и , найденные из формул (7.22) и (7.14), в уравнение (7.21), учитыва€ при этом, что p/ρ=a2/k, получим после небольших преобразований

 

n = k M2 . (7.23)

 

–ассмотрим характерные точки этого термодинамического процесса. ≈сли скорость потока очень мала, т.е. ћ→0, то n→0. ѕроцесс близок к изобарному (в точке ћ=0, изобара и лини€ термодинамического процесса теплового сопла имеют общую касательную). Ќа рис. 141 этому соответствует точка 1. ≈сли , то n=1. ¬ данной точке 2 (рис. 141) получаетс€ элементарный изотермический процесс. ≈сли скорость потока равна критической, т.е. ћ=1, то n=k, т.е. в критическом сечении получаетс€ элементарный изоэнтропный процесс (точка 3, рис.141). ѕри ћ показатель политропы также стремитс€ к бесконечности, следовательно, процесс приближаетс€ к изохорному. Ќа рис. 141 верхн€€ ветвь кривой 1-2-3 отвечает дозвуковому участку сопла, а нижн€€ Ч 3Ц4 Ч сверхзвуковому. –ост энтропии на дозвуковой ветви кривой св€зан с внешним теплопроводом; количество подведенного тепла определ€етс€ площадью а123b. ”меньшение энтропии на сверхзвуковой ветви кривой св€зано с отводом тепла.  оличество отведенного тепла изображаетс€ площадью b34.

»зменение температуры на дозвуковом участке теплового сопла носит довольно своеобразный характер. ѕри малых скорост€х подвод тепла к газу сопровождаетс€ ростом температуры, но при больших дозвуковых скорост€х Ч падением температуры. Ётот, кажущийс€ парадоксальным, факт объ€сн€етс€ тем, что на участке сопла, где , нарастание скорости происходит настолько интенсивно, что рост кинетической энергии уже не компенсируетс€ внешним теплоподводом, в результате чего энтальпи€ газа начинает уменьшатьс€, следовательно, уменьшаетс€ и температура.

 

 

 

»з уравнени€ энергии, записанного дл€ рассматриваемого течени€ (dL=0)

 

или

cр dT*= dQe , (7.24)

 

следует, что подвод тепла (dQe>0) вызывает рост температуры торможени€, а отвод (dQe<0) Ч уменьшение. “аким образом, на дозвуковом участке теплового сопла температура торможени€ возрастает, в критическом сечении достигает максимума, на сверхзвуковом участке Ч уменьшаетс€. ћаксимумы температуры торможени€ и термодинамической температуры не совпадают: они получаютс€ при разных числах ћ. √рафики изменени€ “* и в зависимости от числа ћ дл€ тепловогосопла приведены на рис. 142.

—татическое давление по длине теплового сопла уменьшаетс€. Ёто св€зано с ростом скорости: дл€ увеличени€ количества движени€ газа необходимо, чтобы вдоль потока действовала сила, а причиной ее по€влени€ в цилиндрической трубе может быть только разность давлений на входе и выходе. ƒавление торможени€ по длине сопла также измен€етс€. Ќа дозвуковом участке оно падает, на сверхзвуковом Ч возрастает. «ависимость статического давлени€ и давлени€ торможени€ от числа ћ в произвольном сечении теплового сопла при ћ1=0,1 и k=1,4 показана на рис. 143.

 

 

ѕадение давлени€ торможени€ в результате подвода тепла называетс€ тепловым сопротивлением. –ассмотрим тепловое сопротивление при малых скорост€х движени€ газа в цилиндрической трубе с внешним подводом тепла. ƒл€ этого запишем разность давлений торможени€ на входе и выходе и определим ее знак. ѕри малых числах ћ св€зь между полным и статическим давлением можно брать по уравнению Ѕернулли дл€ несжимаемой жидкости

 

 

 

так как плотность очень слабо зависит от скорости. ќднако нужно заметить, что считать плотность посто€нной дл€ всего потока от входа до выхода нельз€, потому что она сильно измен€етс€ вследствие подвода тепла (в св€зи с этим в предыдущих формулах плотности на входе и выходе помечены разными индексами). ѕроизвед€ вычитание

 

 

подставим вместо разности статических давлений ее выражение из уравнени€ количества движени€ (3.31)

 

p1 Ц p2 = ρ2 w22 Ц ρ 1 w12.

 

“огда после небольших преобразований получим

 

(7.25)

 

»з формулы (7.25) видно, что если к газу подводитс€ тепло, т.е. скорость его возрастает, то > , следовательно, p2*<p1*, значит, в этом случае существует тепловое сопротивление. ѕри отводе тепла < , p2*>p1*, т.е. получаетс€ отрицательное тепловое сопротивление. “аким образом, в отличие от гидравлического, тепловое сопротивление может быть как положительным, так и отрицательным.

ѕри больших скорост€х газа тепловое сопротивление, а также изменение статического давлени€ рассчитываетс€ следующим образом. ”равнение количества движени€ в полных импульсах дл€ массы газа, движущегос€ в цилиндрической трубе без трени€, запишетс€, как

 

1 = ‘2,

 

потому что между входным и выходным сечением на поток в направлении движени€ не действует никаких сил. «аписав это с помощью газодинамических функций потока импульса r(λ) и f(λ)

 

 

 

нетрудно получить формулы дл€ расчета статического и полного давлений на выходе из трубы или в ее произвольном сечении

 

(7.26)

 

(7.27)

 

“емпературы газа в любом сечении трубы рассчитываютс€ по известной зависимости

“ = “* ,

 

причем температура торможени€ должна быть задана. ќбычно задают величину

 

(7.28)

называемую степенью повышени€ температуры.

ƒл€ расчета по этим формулам необходимо знать приведенную скорость в расчетном сечении. ќна определ€етс€ следующим путем. «аписав отношение приведенных скоростей в произвольном сечении и в сечении входа

 

 

заменим в нем отношение скоростей с помощью уравнений неразрывности, состо€ни€ и формулы (7.26)

 

 

а отношение критических скоростей представим так:

 

“огда

 

»спользу€ формулы (2.59) и (3.39), преобразуем отношение

 

ѕодставив это в предыдущее равенство, получим

 

(7.29)

 

‘ормула (7.29) представл€ет относительно λ квадратное уравнение. ѕри его решении знак минус перед квадратным корнем относитс€ к случаю дозвукового течени€, а знак плюс Ч к случаю сверхзвукового. ѕо уравнению (7.29) определ€етс€ λ в любом сечении цилиндрической трубы в зависимости от степени подогрева θ и λ на входе.

ѕри определенных услови€х течени€ газа по цилиндрической трубе с внешним подогревом наступает тепловой кризис. “епловым кризисом называетс€ такой режим течени€, при котором скорость на выходе из трубы достигаетс€ критической. ѕри тепловом кризисе невозможно:

1) увеличение расхода газа выше критического значени€;

2) увеличение скорости газа на выходе;

3) увеличение подогрева газа при сохранении посто€нной начальной скорости.

“аким образом, при тепловом кризисе λ2= 1, λ1= λ1кр, θ= θкр.

«аметим, что дозвукова€ часть теплового сопла работает на режиме теплового кризиса, и увеличение скорости после критического сечени€ происходит лишь потому, что измен€етс€ знак теплового воздействи€: теплоподвод смен€етс€ теплоотводом.

≈сли в уравнении (7.29) положить λ2= 1, то оно принимает вид

 

откуда легко получить

(7.30)

 

ѕо этой формуле определ€етс€ критическое значение приведенной скорости при входе в трубу, при котором наступает тепловой кризис. ƒл€ тех камер сгорани€, которые работают с очень высокой степенью повышени€ температуры, с помощью такого проверочного расчета устанавливают, способна ли камера пропустить расчетное количество газа.

ќтношение статических давлений и коэффициент восстановлени€ давлени€ при тепловом кризисе завис€т от степени подогрева. — ее увеличением р2f и уменьшаютс€, стрем€сь к определенному пределу. “ак, например, при k=1,4 при .

¬ заключение нужно заметить, что в чистом виде тепловое сопло в технике не примен€етс€, но в комбинации с геометрическим соплом встречаетс€ часто.  омбинаци€ геометрического и теплового воздействи€ встречаетс€, например, при догорании топлива в суживающейс€ части реактивных сопел, при охлаждении стенок сопел реактивных двигателей. — тепловым сопротивлением приходитс€ встречатьс€ при расчетах и исследовани€х устройств, в которых газ движетс€ с подводом или отводом тепла, Ч камер сгорани€, воздухоподогревателей, воздухоохладителей и т.п.

“ечение газа с подводом и отводом механической энергии

 

ѕодвод и отвод механической энергии оказывает воздействие на газовый поток. Ёто легко установить с помощью уравнени€ обращени€ воздействий (7.6), которое дл€ случа€ только одного механического воздействи€ имеет вид:

 

(7.87)

 

»з этого уравнени€ следует, что в дозвуковом потоке (ћ<1) внешн€€ механическа€ работа, отданна€ газом (dL>0), вызывает рост скорости (dw>0), а подведенна€ к газу (dL<0) Ч падение скорости (dw<0). ¬ сверхзвуковом потоке Ч наоборот: при dL>0 скорость уменьшаетс€ (dw<0), а при dL<0 Ч растет (dw>0).

¬ теории одномерных потоков[5] рассматриваетс€ так называемое Ђмеханическое соплої, состо€щее из последовательно расположенных турбины (dL>0) и компрессора (dL<0), между которыми находитс€ критическое сечение (ћ=1). “еоретически така€ система способна преобразовать дозвуковой поток в сверхзвуковой, но практического значени€ она не имеет, ввиду трудности сохранени€ бесскачкового течени€ в сверхзвуковом компрессоре и сложности всего устройства. “ем не менее, общие выводы, вытекающие из уравнени€ (7.87), полезны при анализе условий перехода через скорость звука в межлопаточных каналах сверхзвуковых рабочих колес турбомашин.

≈сли сравнить механическое воздействие с тепловым, рассматрива€ формулу (7.6) и уравнение энергии (2.6), то можно обратить внимание на то, что в эти уравнени€ величины dL и dQе вход€т в различных сочетани€х (с разными коэффициентами и с разными знаками), поэтому их вли€ние на различные параметры потока не может быть одинаковым. ƒействительно, анализ показывает, что при подводе механической работы (dL<0) в дозвуковой области (ћ<1) параметры р, , ρ, р*, *, ρ * Ч возрастают, а скорость уменьшаетс€, тогда как при подводе тепла (dQе > 0) *Ч также возрастает, “ Ч имеет максимум при но, р, ρ, р*, ρ* Ч уменьшаютс€, а скорость возрастает.

ѕередача механической энергии в газовый поток извне или отвод ее наружу св€зан с воздействием пол€ массовых сил на частицы движущейс€ жидкости. Ётим полем может быть либо внешнее поле немеханического происхождени€ (например, электрическое или электромагнитное), либо поле инерционных сил, возникающее в сложном движении. ѕервый случай относитс€ к движению зар€женных частиц жидкости и составл€ет предмет изучени€ специальной отрасли гидродинамики Ч магнитной газодинамики [6]. ¬торой случай св€зан с движением обычной жидкости или газа в рабочих колесах турбомашин.

–асчет газовых потоков в каналах рабочих колес часто приходитс€ вести в относительном движении. ѕодвод и отвод механической работы оказывает вли€ние на параметры относительного движени€. –ассмотрим, в чем заключаетс€ это вли€ние.

√аз, движущийс€ в межлопаточном канале рабочего колеса, участвует в сложном движении. ќн движетс€ относительно лопаток со скоростью w и перемещаетс€ вместе с каналами колеса с переносной скоростью u. —леду€ терминологии, прин€той в теории турбомашин, будем обозначать абсолютную скорость через с, относительную Ч через w и переносную Ч через u. “огда

 

(7.88)

 

Ќа рис. 165 треугольников скоростей с, w и u изображен в абсолютной системе координат, неподвижно зафиксированной относительно корпуса машины. ¬ ней оси r, u, а направлены соответственно по радиусу, по окружности колеса и по оси машины.

 

 

 

ѕримен€€ к этому треугольнику теорему косинусов, можно записать

w2 = с2 + и2 Ц 2 c u соs α,

откуда

c2 = w2 Ч u2 + 2 сu u. (7.89)

 

так как с соs α=сu.

”равнение энергии в абсолютном движении запишем в форме (2.4), переменив обозначение скорости с w на с, а именно

 

(7.90)

 

¬ход€ща€ в него внешн€€ механическа€ работа L может быть найдена следующим образом. ѕо второй теореме Ёйлера о моменте количества движени€ (3.45) момент внешних сил, действующих на струю, равен

 

m = mсек (r2 с2u Ц r1 с1u ).

 

ѕредставив работу L, совершенную единицей массы газа, как мощность, приход€щуюс€ на единицу массового расхода, нетрудно получить[7]

 

L = Ц mω/ mсек = Ц ω(r2 с2u Ц r1 с1u ).

“ак как ωr=u, то

L = с1u u1 Ц с2u u2. (7.91)

 

ѕосле подстановки значений абсолютной скорости с, найденных из зависимости (7.89), и работы L, найденной из формулы (7.91), в уравнение энергии (7.90), последнее приобретает вид:

 

сp(t1 Ц t2 ) + (w12 Ц u12)/2 Ц (w 22 Ц u22)/2 + qe = 0. (7.92)

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2067 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

2286 - | 2033 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.324 с.