Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—игналы с угловой модул€цией [1,25]




ѕри угловой модул€ции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = Umcos(wt+j) значение амплитуды колебаний Um остаетс€ посто€нным, а информаци€ s(t) переноситс€ либо на частоту w, либо на фазовый угол j. » в том, и в другом случае текущее значение фазового угла гармонического колебани€ u(t) определ€ет аргумент y(t) = wt+j, который называют полной фазой колебани€.

‘азова€ модул€ци€ (‘ћ, phase modulation - PM).ѕри фазовой модул€ции значение фазового угла посто€нной несущей частоты колебаний wo пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). —оответственно, уравнение ‘ћ Ц сигнала определ€етс€ выражением:

u(t) = Um cos[wot + k×s(t)], (9.2.1)

где k Ц коэффициент пропорциональности. ѕример однотонального ‘ћ Ц сигнала приведен на рис. 9.2.1.

–ис. 9.2.1. ‘азомодулированный сигнал.

ѕри s(t) = 0, ‘ћ Ц сигнал €вл€етс€ простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией uo(t). — увеличением значений s(t) полна€ фаза колебаний y(t)=wot+k×s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание wot. —оответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. ¬ моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ‘ћ Ц сигналом и значением wot немодулированного колебани€ также €вл€етс€ максимальным и носит название девиации фазы (вверх Djв = k×smax(t), или вниз Djн = k×smin(t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

ƒл€ колебаний с угловой модул€цией примен€етс€ также пон€тие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y(t)/dt = ωo + k ds(t)/dt.

ѕолна€ фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

y(t) = ω(t) dt, или y(t) = ω(t) dt +jo.

„астотна€ модул€ци€ („ћ, frequency modulation - FM) характеризуетс€ линейной св€зью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенна€ частота колебаний образуетс€ сложением частоты высокочастотного несущего колебани€ wo со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности:

w(t) = wo + k×s(t). (9.2.2)

—оответственно, полна€ фаза колебаний:

y(t) = ωo(t) + k s(t) dt, или y(t) = ωo(t) + k s(t) dt +jo.

”равнение „ћ Ц сигнала:

u(t) = Um cos(ωot+k s(t) dt +jo). (9.2.3)

јналогично ‘ћ, дл€ характеристики глубины частотной модул€ции используютс€ пон€ти€ девиации частоты вверх Dwв = k×smax(t), и вниз Dwн = k×smin(t).

„астотна€ и фазова€ модул€ци€ взаимосв€заны. ≈сли измен€етс€ начальна€ фаза колебани€, измен€етс€ и мгновенна€ частота, и наоборот. ѕо этой причине их и объедин€ют под общим названием угловой модул€ции (”ћ). ѕо форме колебаний с угловой модул€цией невозможно определить, к какому виду модул€ции относитс€ данное колебание, к ‘ћ или „ћ, а при достаточно гладких функци€х s(t) формы сигналов ‘ћ и „ћ вообще практически не отличаютс€.

ќднотональна€ углова€ модул€ци€. –ассмотрим гармонический модулирующий сигнал с посто€нной частотой колебаний ω. Ќачальна€ фаза колебаний:

j(t) = b sin(Wt),

где b - индекс угловой модул€ции (modulation index), которым задаетс€ интенсивность колебаний начальной фазы. ѕолна€ фаза модулированного сигнала с учетом несущей частоты ωо:

y(t) = wot + b sin(Wt).

”равнение модулированного сигнала:

u(t) = Um cos(wot + b sin(Wt)). (9.2.4)

ћгновенна€ частота колебаний:

ω(t) = dy(t)/dt = wo + bW cos(Wt).

 ак следует из этих формул, и начальна€ фаза, и мгновенна€ частота измен€етс€ по гармоническому закону. ћаксимальное отклонение от среднего значени€ ωо равно ωd = bW, и получило название девиации частоты (frequency deviation). ќтсюда, индекс угловой модул€ции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала:

b = ωd/W. (9.2.5)

–азличи€ между частотной и фазовой модул€цией про€вл€ютс€ при изменении частоты W модулирующего сигнала.

ѕри фазовой модул€ции девиаци€ частоты пр€мо пропорциональна W, а индекс угловой модул€ции от частоты модулирующего сигнала не зависит:

b = const, ωd = b W.

Ќапротив, при „ћ посто€нным параметром модул€ции €вл€етс€ девиаци€ частоты, при этом индекс модул€ции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:

ωd = const, b = ωd/W.

—пектры сигналов с угловой модул€цией.

‘ормулу (9.2.4) однотональной модул€ции можно преобразовать к виду:

u(t) = Umcos(b×sin(Wt)) cos(wot) - Umsin(b×sin(Wt)) sin(wot). (9.2.6)

ѕри малых значени€х индекса угловой модул€ции (b<<1, узкополосна€ модул€ци€) имеют место приближенные равенства:

cos(b×sin(Wt))ї 1, sin(b×sin(Wt))ї b×sin(wot).

ѕри их использовании в (9.2.6), получаем:

u(t)ї Umcos(wot) + (bUm/2)cos[(wo+W)t] + (-bUm/2)cos[(wo-W)t]. (9.2.7)

—равнение данного выражени€ с формулой јћ Ц сигнала (9.1.4) позвол€ет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ‘ћ и „ћ сигналов при b<<1 практически аналогичны јћ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты wo+W и wo-W. –азличие заключаетс€ только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 1800 относительно верхней боковой частоты. —оответственно, гармонические јћ сигналы могут быть трансформированы в „ћ сигналы изменением на 180о начальной фазы одной из боковых полос. «аметим также, что при малых значени€х индекса b основна€ мощность сигнала приходитс€ на несущую частоту.

–ис. 9.2.2. јмплитуды гармоник сигналов с угловой модул€цией.

ћатематическа€ модель однотональных „ћ и ‘ћ сигналов с любым значением индекса модул€ции b в общем случае получаетс€ разложением функции (9.2.4) в следующий р€д:

u(t)=Um Jk(m) cos[(wo+kW)t],

где Jk(m) Ц функци€ Ѕессел€ k-го индекса от аргумента m=b. »з этого уравнени€ следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составл€ющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами wo±kW, которые соответствуют гармоникам частоты модул€ции, и с амплитудами, пропорциональными значени€м Jk(m). јмплитуды п€ти первых гармоник и несущей частоты при Um=1 в зависимости от индекса модул€ции приведены на рис. 9.2.2.

ѕри малой величине индекса b значимые амплитудные значени€ имеют только первые гармоники. — ростом величины b количество значимых боковых составл€ющих увеличиваетс€, а энерги€ сигнала перераспредел€етс€ на боковые составл€ющие. ‘ункции Ѕессел€ имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ωо спадает немонотонно. Ќа рис. 9.2.2 можно также видеть, что при определенных значени€х индекса модул€ции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несуща€ частота wo в спектре сигнала полностью отсутствует. ‘орма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модул€ции приведена на рис. 9.2.3.

— ростом индекса модул€ции полоса частот, занимаема€ сигналом, расшир€етс€. ѕрактическа€ ширина спектра сигнала с угловой модул€цией определ€етс€ по формуле:

ѕпракт = 2(b+1)W, (9.2.8)

т.е. спектральными составл€ющими с номерами k>(b+1) пренебрегают. ‘ормирование реальных сигналов, как правило, выполн€етс€ при b>>1, при этом эффективна€ ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

ѕпрактї 2bW = 2wd. (9.2.9)

–ис. 9.2.3. ћодули спектров „ћ сигнала при разных индексах модул€ции.

(несуща€ частота 2500 √ц, гармоника модул€ции 25 √ц, шкала частот в √ц относительно несущей)

ќтсюда следует, что по сравнению с јћ Ц сигналами, полоса частот которых равна 2W, дл€ передачи сигналов с угловой модул€цией требуетс€ полоса частот, в b раз больша€. — другой стороны, именно широкополосность „ћ и ‘ћ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с јћ сигналами.

ƒл€ функций Ѕессел€ имеет также место: J-k(m) = (-1)kJk(m). Ёто означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами wo+kW и wo-kW совпадают при четных k, и отличаютс€ на 180о при нечетных k.

—игналы с многотональной угловой модул€цией отличаютс€ еще большей сложностью спектрального состава. ¬ их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты типа wo±W1±W2±...Wi, со всеми возможными комбинаци€ми частот модулирующего сигнала Wi. ѕри непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры „ћ и ‘ћ сигналов также станов€тс€ непрерывными.

ƒемодул€ци€ ”ћ Ц сигналов много сложнее демодул€ции сигналов јћ.

ѕри демодул€ции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используетс€ метод формировани€ комплексного аналитического сигнала с помощью преобразовани€ √ильберта:

ua(t) = u(t) + j uh(t),

где uh(t) Ц аналитически сопр€женный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисл€етс€ сверткой сигнала u(t) с оператором √ильберта (1/πt):

uh(t) = (1/π) u(t') dt'/(t-t').

ѕолна€ фаза колебаний представл€ет собой аргумент аналитического сигнала:

y(t) = arg(ua(t)).

ƒальнейшие операции определ€ютс€ видом угловой модул€ции. ѕри демодул€ции ‘ћ сигналов из фазовой функции вычитаетс€ значение немодулированной несущей ωоt:

j(t) = y(t) - ωot.

ѕри частотной модул€ции фазова€ функци€ дифференцируетс€ с вычитанием из результата значени€ частоты ωо:

j(t) = y(t)/dt - ωo.

¬ принципе, данный метод может примен€тьс€ и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближени€, поскольку оператор √ильберта слабо затухает.

ќбычно в реальном масштабе времени используетс€ квадратурна€ обработка, при которой входной сигнал умножаетс€ на два опорных колебани€ со сдвигом фазы между колебани€ми в 90о:

u1(t) = u(t) cos(ωot) = Um cos(ωot+j(t) cos(ωot) = ½ Um cos j(t) + ½ cos(2wot+j(t)),

u2(t) = u(t) sin(ωot) = Um cos(ωot+j(t) sin(ωot) = - ½ Um sin j(t) + ½ sin(2wot+j(t)).

»з этих двух сигналов фильтрами низких частот выдел€ютс€ низкочастотные колебани€, и формируетс€ аналитический сигнал:

ua(t) = ½ Um cos j(t) - ½j Um sin j(t).

јргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представл€ет полную фазу колебаний, обработка которой выполн€етс€ аналогично.

 вадратурна€ модул€ци€ позвол€ет модулировать несущую частоту одновременно двум€ сигналами путем модул€ции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. ”равнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модул€ции:

s(t) = u(t) cos(ωot+j(t)).

—игнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодул€ции. –аскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух јћ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(ωot) cos j(t) Ц u(t) sin(ωot) sin j(t).

ѕри a(t) = u(t) cos j(t) и b(t) = -u(t) sin j(t), сигналы a(t) и b(t) могут быть использованы в качестве модулирующих сигналов несущих колебаний cos(ωot) и sin(ωot), сдвинутых по фазе на 90о относительно друг друга:

s(t) = a(t) cos(ωot) + b(t) sin(ωot).

ѕолученный сигнал называют квадратурным (quadrature), а способ модул€ции - квадратурной модул€цией ( јћ).

—пектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модул€ции (9.1.17) дл€ суммы двух сигналов:

S(ω) = ½ A(ω+ωo) + ½ A(ω-ωo) Ц ½j B(ω+ωo) + ½j B(ω-ωo).

ƒемодул€ци€ квадратурного сигнала соответственно выполн€етс€ умножением на два опорных колебани€, сдвинутых относительно друг друга на 90о:

s1(t) = s(t) cos ωot = ½ a(t) + ½ a(t) cos 2ωot + ½ b(t) sin 2ωot,

s2(t) = s(t) sin ωot = ½ b(t) + ½ a(t) sin 2ωot - ½ b(t) cos 2ωot.

Ќизкочастотные составл€ющие a(t) и b(t) выдел€ютс€ фильтром низких частот.  ак и при балансной амплитудной модул€ции, дл€ точной демодул€ции сигналов требуетс€ точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебани€.

ѕример моделировани€ квадратурной модул€ции в системе Mathcad.

ћоделирование выполн€етс€ в дискретной форме.

N:= 2999 n:= 0.. N Dt:= 0.001 '»нтервал и шаг дискретизации (в сек).

f0:= 50 f1:= 2 f2:= 3 '„астоты в √ц несущей, первого и второго сигналов.

s1n:= sin(2ЈpЈf1ЈnЈDt) 'ѕервый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

s2n:= sin(2ЈpЈf2ЈnЈDt) 'ѕервый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

b:=10 jn:= bЈs2n 'ѕеренос информации s2n на фазу

un:= s1nЈcos(2ЈpЈf0ЈnЈDt+jn) 'јмплитудно-фазова€ модул€ци€

U:= CFFT(u) Df:= 1/[(N+1)ЈDt] 'Ѕѕ‘ и шаг по частоте

an:= s1nЈcos(jn) bn:= s1nЈsin(jn) '‘ормирование модулирующих сигналов

sn:= anЈcos(2ЈpЈf0ЈnЈDt) + bnЈsin(2ЈpЈf0ЈnЈDt) ' вадратурный сигнал. —равнением с сигналом

'un нетрудно убедитс€ в их идентичности,

'а, следовательно, идентичны и их спектры.

ƒемодул€ци€ квадратурного сигнала.

u1n:= snЈcos(2ЈpЈf0ЈnЈDt) '–аздельна€ синхронна€ демодул€ци€ сигналов an и bn. √рафики

u2n:= snЈsin(2ЈpЈf0ЈnЈDt) 'сигналов u2n и bn смешены на -2 дл€ представлени€ в одном поле.

U1:= CFFT(u1) U2:= CFFT(u2) '—пектры сигналов, Ѕѕ‘.

M:= 50/Df m:= M.. N+1-M U1m:= 0 U2m:= 0 '”даление высоких частот (после 50 √ц).

u3:= ICFFT(U1) u4:= ICFFT(U2) 'ќЅѕ‘ оставшихс€ низких частот спектра. Ќа графиках

'амплитуды сигналов u3n и u4n увеличены в 2 раза

'дл€ сопоставлени€ c исходными сигналами an и bn.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 628 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

472 - | 455 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.035 с.