Сигналы с угловой модуляцией [1,25]

При угловой модуляции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = U_mcos(wt+j) значение амплитуды колебаний U_m остается постоянным, а информация s(t) переносится либо на частоту w, либо на фазовый угол j. И в том, и в другом случае текущее значение фазового угла гармонического колебания u(t) определяет аргумент y(t) = wt+j, который называют полной фазой колебания.

Фазовая модуляция (ФМ, phase modulation - PM).При фазовой модуляции значение фазового угла постоянной несущей частоты колебаний w_o пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Соответственно, уравнение ФМ – сигнала определяется выражением:

u(t) = U_m cos[w_ot + k×s(t)], (9.2.1)

где k – коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ – сигнала приведен на рис. 9.2.1.

Рис. 9.2.1. Фазомодулированный сигнал.

При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией u_o(t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний y(t)=w_ot+k×s(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание w_ot. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига Dy между ФМ – сигналом и значением w_ot немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы (вверх Dj_в = k×s_max(t), или вниз Dj_н = k×s_min(t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

ω(t) = y(t)/dt = ω_o + k ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

y(t) = ω(t) dt, или y(t) = ω(t) dt +j_o.

Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation - FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания w_o со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности:

w(t) = w_o + k×s(t). (9.2.2)

Соответственно, полная фаза колебаний:

y(t) = ω_o(t) + k s(t) dt, или y(t) = ω_o(t) + k s(t) dt +j_o.

Уравнение ЧМ – сигнала:

u(t) = U_m cos(ω_ot+k s(t) dt +j_o). (9.2.3)

Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх Dw_в = k×s_max(t), и вниз Dw_н = k×s_min(t).

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.

Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний ω. Начальная фаза колебаний:

j(t) = b sin(Wt),

где b - индекс угловой модуляции (modulation index), которым задается интенсивность колебаний начальной фазы. Полная фаза модулированного сигнала с учетом несущей частоты ω_о:

y(t) = w_ot + b sin(Wt).

Уравнение модулированного сигнала:

u(t) = U_m cos(w_ot + b sin(Wt)). (9.2.4)

Мгновенная частота колебаний:

ω(t) = dy(t)/dt = w_o + bW cos(Wt).

Как следует из этих формул, и начальная фаза, и мгновенная частота изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение от среднего значения ω_о равно ω_d = bW, и получило название девиации частоты (frequency deviation). Отсюда, индекс угловой модуляции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала:

b = ω_d/W. (9.2.5)

Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты W модулирующего сигнала.

При фазовой модуляции девиация частоты прямо пропорциональна W, а индекс угловой модуляции от частоты модулирующего сигнала не зависит:

b = const, ω_d = b W.

Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:

ω_d = const, b = ω_d/W.

Спектры сигналов с угловой модуляцией.

Формулу (9.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

u(t) = U_mcos(b×sin(Wt)) cos(w_ot) - U_msin(b×sin(Wt)) sin(w_ot). (9.2.6)

При малых значениях индекса угловой модуляции (b<<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:

cos(b×sin(Wt))» 1, sin(b×sin(Wt))» b×sin(w_ot).

При их использовании в (9.2.6), получаем:

u(t)» U_mcos(w_ot) + (bU_m/2)cos[(w_o+W)t] + (-bU_m/2)cos[(w_o-W)t]. (9.2.7)

Сравнение данного выражения с формулой АМ – сигнала (9.1.4) позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при b<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты w_o+W и w_o-W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180⁰ относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180^о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса b основная мощность сигнала приходится на несущую частоту.

Рис. 9.2.2. Амплитуды гармоник сигналов с угловой модуляцией.

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции (9.2.4) в следующий ряд:

u(t)=U_m J_k(m) cos[(w_o+kW)t],

где J_k(m) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента m=b. Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами w_o±kW, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям J_k(m). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U_m=1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 9.2.2.

При малой величине индекса b значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины b количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ω_о спадает немонотонно. На рис. 9.2.2 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота w_o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рис. 9.2.3.

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

П_практ = 2(b+1)W, (9.2.8)

т.е. спектральными составляющими с номерами k>(b+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

П_практ» 2bW = 2w_d. (9.2.9)

Рис. 9.2.3. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.

(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

Отсюда следует, что по сравнению с АМ – сигналами, полоса частот которых равна 2W, для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в b раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.

Для функций Бесселя имеет также место: J_-k(m) = (-1)^kJ_k(m). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами w_o+kW и w_o-kW совпадают при четных k, и отличаются на 180^о при нечетных k.

Сигналы с многотональной угловой модуляцией отличаются еще большей сложностью спектрального состава. В их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты типа w_o±W₁±W₂±...W_i, со всеми возможными комбинациями частот модулирующего сигнала W_i. При непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры ЧМ и ФМ сигналов также становятся непрерывными.

Демодуляция УМ – сигналов много сложнее демодуляции сигналов АМ.

При демодуляции полностью зарегистрированных цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:

u_a(t) = u(t) + j u_h(t),

где u_h(t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/πt):

u_h(t) = (1/π) u(t') dt'/(t-t').

Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:

y(t) = arg(u_a(t)).

Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ω_оt:

j(t) = y(t) - ω_ot.

При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ω_о:

j(t) = y(t)/dt - ω_o.

В принципе, данный метод может применяться и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближения, поскольку оператор Гильберта слабо затухает.

Обычно в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90^о:

u₁(t) = u(t) cos(ω_ot) = U_m cos(ω_ot+j(t) cos(ω_ot) = ½ U_m cos j(t) + ½ cos(2w_ot+j(t)),

u₂(t) = u(t) sin(ω_ot) = U_m cos(ω_ot+j(t) sin(ω_ot) = - ½ U_m sin j(t) + ½ sin(2w_ot+j(t)).

Из этих двух сигналов фильтрами низких частот выделяются низкочастотные колебания, и формируется аналитический сигнал:

u_a(t) = ½ U_m cos j(t) - ½j U_m sin j(t).

Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично.

Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:

s(t) = u(t) cos(ω_ot+j(t)).

Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(ω_ot) cos j(t) – u(t) sin(ω_ot) sin j(t).

При a(t) = u(t) cos j(t) и b(t) = -u(t) sin j(t), сигналы a(t) и b(t) могут быть использованы в качестве модулирующих сигналов несущих колебаний cos(ω_ot) и sin(ω_ot), сдвинутых по фазе на 90^о относительно друг друга:

s(t) = a(t) cos(ω_ot) + b(t) sin(ω_ot).

Полученный сигнал называют квадратурным (quadrature), а способ модуляции - квадратурной модуляцией (КАМ).

Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (9.1.17) для суммы двух сигналов:

S(ω) = ½ A(ω+ω_o) + ½ A(ω-ω_o) – ½j B(ω+ω_o) + ½j B(ω-ω_o).

Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90^о:

s₁(t) = s(t) cos ω_ot = ½ a(t) + ½ a(t) cos 2ω_ot + ½ b(t) sin 2ω_ot,

s₂(t) = s(t) sin ω_ot = ½ b(t) + ½ a(t) sin 2ω_ot - ½ b(t) cos 2ω_ot.

Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.

Пример моделирования квадратурной модуляции в системе Mathcad.

Моделирование выполняется в дискретной форме.

N:= 2999 n:= 0.. N Dt:= 0.001 'Интервал и шаг дискретизации (в сек).

f0:= 50 f1:= 2 f2:= 3 'Частоты в Гц несущей, первого и второго сигналов.

s1_n:= sin(2·p·f1·n·Dt) 'Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

s2_n:= sin(2·p·f2·n·Dt) 'Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).

b:=10 j_n:= b·s2_n 'Перенос информации s2_n на фазу

u_n:= s1_n·cos(2·p·f0·n·Dt+j_n) 'Амплитудно-фазовая модуляция

U:= CFFT(u) Df:= 1/[(N+1)·Dt] 'БПФ и шаг по частоте

a_n:= s1_n·cos(j_n) b_n:= s1_n·sin(j_n) 'Формирование модулирующих сигналов

s_n:= a_n·cos(2·p·f0·n·Dt) + b_n·sin(2·p·f0·n·Dt) 'Квадратурный сигнал. Сравнением с сигналом

'u_n нетрудно убедится в их идентичности,

'а, следовательно, идентичны и их спектры.

Демодуляция квадратурного сигнала.

u1_n:= s_n·cos(2·p·f0·n·Dt) 'Раздельная синхронная демодуляция сигналов a_n и b_n. Графики

u2_n:= s_n·sin(2·p·f0·n·Dt) 'сигналов u2_n и b_n смешены на -2 для представления в одном поле.

U1:= CFFT(u1) U2:= CFFT(u2) 'Спектры сигналов, БПФ.

M:= 50/Df m:= M.. N+1-M U1_m:= 0 U2_m:= 0 'Удаление высоких частот (после 50 Гц).

u3:= ICFFT(U1) u4:= ICFFT(U2) 'ОБПФ оставшихся низких частот спектра. На графиках

'амплитуды сигналов u3_n и u4_n увеличены в 2 раза

'для сопоставления c исходными сигналами a_n и b_n.