Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Пусть 1) функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], 2) существует конечная производная (х), по крайней мере, на интервале (a;b), тогда найдется по крайней мере одна точка с (a;b) такая, что

с (a;b): что f(b)-f(a)= (c)(b-a)

или

Доказательство.

1. При f(a)=f(b) утверждение вытекает из теоремы Ролля. (0=0(b-a))

2. При f(a)≠f(b). Введем вспомогательную функцию.

h 6DHaNwjkYXtpiAS+OIaPBQwqGLmCVzYZQ+SohohKzRu5oskVDHft5Ixh3z4q1PGF5YqeRh4OIQAI 0Y/uRjkpQ3zlzEDByBB57ZuRIUeVIepOqK9FhujoPCrDdZWkcMXVmngfpv43lPULQF/9CwAA//8D AFBLAwQUAAYACAAAACEAgJBuON8AAAAIAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF74L/ YRnBm92k2qTEbEop6qkItoJ422anSWh2NmS3SfrvnZ7saXi8x5vv5avJtmLA3jeOFMSzCARS6UxD lYLv/fvTEoQPmoxuHaGCC3pYFfd3uc6MG+kLh12oBJeQz7SCOoQuk9KXNVrtZ65DYu/oeqsDy76S ptcjl9tWzqMokVY3xB9q3eGmxvK0O1sFH6Me18/x27A9HTeX3/3i82cbo1KPD9P6FUTAKfyH4YrP 6FAw08GdyXjRsl6knLxeEGy/LNMExEHBPIlSkEUubwcUfwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEA toM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQA BgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQA BgAIAAAAIQC0brs5OwkAAEhUAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQCAkG443wAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJULAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQ SwUGAAAAAAQABADzAAAAoQwAAAAA " o:allowincell="f">

f(a)

f(b)

A

B

L

x

y

Вычтем из функции f(x) линейную функцию φ(х) такую, чтобы значение разности f(x)-φ(х) на концах отрезка совпадали.

Проведем прямую L׀׀AB, тогда

φ(х)=

Тогда f(а)-φ(а)= f(а)-0= f(а)

f(b)-φ(b)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)

Введем функцию g(x)=f(x)- ,

g(a)=f(a)=g(b)

Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Роля: непрерывна в [a;b], т.к. представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (a;b) имеет конечную производную, равную (х)= (х)- . Следовательно, модно применить теорему Роля, т.е.

с (a;b): что (c)=0

(c)= (с)- =0, т.е. ч.т.д.

- формула Лагранжа или формула конечных приращений.

х

у

f(c)

C

B

A

bb

a

c

f(b)-f(a)

b

b-a

a

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Пусть A(a,f(a)) и B(b,f(b)) – концы графика функции y=f(x), АВ – хорда, соединяющая точки А и В. Тогда правая часть формулы представляет собой tg b, т.е. тангенс угла, образованного хордой АВ с положительным направлением оси Ох.

Поэтому равенство можно переписать в виде tg b=tg a. Значит, на кривой АВ имеется, по крайней мере, одна точка (c,f(c)) такая, в которой касательная к АВ параллельна хорде АВ.