Локальные экстремумы

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Определение. Точка х₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех точек х из этой окрестности справедливо неравенство:

V(x₀): x V(x₀)\{x₀} f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀))

Или f(x₀+∆х)≤f(x₀) (f(x₀+∆х)≥f(x₀))

Если выполняется неравенство f(x₀+∆х)<f(x₀) (f(x₀+∆х)>f(x₀)),

То говорят, о строгом локальном максимуме (минимуме).

Значение функции в точке х₀ называют максимумом (минимумом) функции.

Максимум и минимум функции называют экстремумом, х₀ – точка локального экстремума.

Теорема Ферма. ( Необходимое условие экстремальных точек ) Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение (локальный экстремум). Тогда, если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю =0

Доказательство. Пусть для определенности в точке х₀ функция имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤f(x₀) .

Это значит, что ∆у=f(x₀+∆х)-f(x₀)≤0 для любой точки x₀+∆х .

Поэтому, если ∆x>0 (x>x₀),то .

Следовательно,

Если же ∆x<0 (x<x₀),то .

Поэтому,

Т.е. правая производная в точке х₀ неположительная, а левая неотрицательна. По условию существует. Значит, = = =0. Ч.т.д.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, если в точке x₀ .функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции у=f(x) в точке (х₀,f(x₀)) параллельна оси Ох. (Рисунок).

Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема хотя бы в интервале (a;b).

Если f(a)=f(b), то найдется, по крайней мере, одна такая точка с (a;b), что =0.

Доказательство.

Т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса, функция f(x) на отрезке [a;b] достигает как своего наибольшего М, так и своего наименьшего m значения. Значит хÎ[a,b] Þm£f(x)£M (1)

Возможны 2 случая

1) Если m=M, то из неравенства (1) следует, что все значения функции f(x) в промежутке [a;b] равны между собой, т.е. f(x)=const, тогда с – любая точка интервала (a;b).

2) m<M, т.е. f(x)≠const. В этом случае хотя бы одно из двух значений m или M функция f(х) принимает во внутренней точке с (a;b) (иначе, ввиду того, что f(a)=f(b), мы получили бы m=M, а это не так).

Т.о. выполнены все условия теоремы Ферма. Значит =0. Ч.т.д.