Локальные экстремумы
Лекции.Орг

Поиск:


Локальные экстремумы




Основные теоремы дифференциального исчисления.

Определение.Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех точек х из этой окрестности справедливо неравенство:

V(x0): x V(x0)\{x0} f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0))

Или f(x0+∆х)≤f(x0) (f(x0+∆х)≥f(x0))

Если выполняется неравенство f(x0+∆х)<f(x0) (f(x0+∆х)>f(x0)),

То говорят, о строгом локальном максимуме (минимуме).

Значение функции в точке х0 называют максимумом(минимумом) функции.

Максимум и минимум функции называют экстремумом, х0точка локального экстремума.

Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремальных точек)Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение (локальный экстремум). Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю =0

Доказательство. Пусть для определенности в точке х0 функция имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤f(x0) .

Это значит, что ∆у=f(x0+∆х)-f(x0)≤0 для любой точки x0+∆х .

Поэтому, если ∆x>0 (x>x0),то .

Следовательно,

Если же ∆x<0 (x<x0),то .

Поэтому,

Т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая неотрицательна. По условию существует. Значит, = = =0. Ч.т.д.

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, если в точке x0 .функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции у=f(x) в точке (х0,f(x0)) параллельна оси Ох. (Рисунок).

Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема хотя бы в интервале (a;b).

Если f(a)=f(b), то найдется, по крайней мере, одна такая точка с (a;b), что =0.

Доказательство.

Т.к. функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса, функция f(x) на отрезке [a;b] достигает как своего наибольшего М, так и своего наименьшего m значения. Значит хÎ[a,b] Þm£f(x)£M (1)

Возможны 2 случая

1) Если m=M, то из неравенства (1) следует, что все значения функции f(x) в промежутке [a;b] равны между собой, т.е. f(x)=const, тогда с – любая точка интервала (a;b).

2) m<M, т.е. f(x)≠const. В этом случае хотя бы одно из двух значений m или M функция f(х) принимает во внутренней точке с (a;b) (иначе, ввиду того, что f(a)=f(b), мы получили бы m=M, а это не так).

Т.о. выполнены все условия теоремы Ферма. Значит =0. Ч.т.д.





Дата добавления: 2015-01-25; просмотров: 425 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.