Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћокальные экстремумы




ќсновные теоремы дифференциального исчислени€.

ќпределение. “очка х0 называетс€ точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует така€ окрестность точки х0, что дл€ всех точек х из этой окрестности справедливо неравенство:

V(x0): x V(x0)\{x0} f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0))

»ли f(x0+∆х)≤f(x0) (f(x0+∆х)≥f(x0))

≈сли выполн€етс€ неравенство f(x0+∆х)<f(x0) (f(x0+∆х)>f(x0)),

“о говор€т, о строгом локальном максимуме (минимуме).

«начение функции в точке х0 называют максимумом (минимумом) функции.

ћаксимум и минимум функции называют экстремумом, х0 Ц точка локального экстремума.

“еорема ‘ерма. ( Ќеобходимое условие экстремальных точек ) ѕусть функци€ f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение (локальный экстремум). “огда, если в точке х0 существует производна€, то она равна нулю =0

ƒоказательство. ѕусть дл€ определенности в точке х0 функци€ имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤f(x0) .

Ёто значит, что ∆у=f(x0+∆х)-f(x0)≤0 дл€ любой точки x0+∆х .

ѕоэтому, если ∆x>0 (x>x0),то .

—ледовательно,

≈сли же ∆x<0 (x<x0),то .

ѕоэтому,

“.е. права€ производна€ в точке х0 неположительна€, а лева€ неотрицательна. ѕо условию существует. «начит, = = =0. „.т.д.

√еометрическа€ интерпретаци€ теоремы ‘ерма состоит в том, если в точке x0 .функци€ f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательна€ к графику функции у=f(x) в точке (х0,f(x0)) параллельна оси ќх. (–исунок).

“еорема –олл€. ѕусть функци€ y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема хот€ бы в интервале (a;b).

≈сли f(a)=f(b), то найдетс€, по крайней мере, одна така€ точка с (a;b), что =0.

ƒоказательство.

“.к. функци€ y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме ¬ейерштрасса, функци€ f(x) на отрезке [a;b] достигает как своего наибольшего ћ, так и своего наименьшего m значени€. «начит хÎ[a,b] Þm£f(x)£M (1)

¬озможны 2 случа€

1) ≈сли m=M, то из неравенства (1) следует, что все значени€ функции f(x) в промежутке [a;b] равны между собой, т.е. f(x)=const, тогда с Ц люба€ точка интервала (a;b).

2) m<M, т.е. f(x)≠const. ¬ этом случае хот€ бы одно из двух значений m или M функци€ f(х) принимает во внутренней точке с (a;b) (иначе, ввиду того, что f(a)=f(b), мы получили бы m=M, а это не так).

“.о. выполнены все услови€ теоремы ‘ерма. «начит =0. „.т.д.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 572 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

305 - | 321 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.