Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћомент импульса и момент силы




 

—овокупность опытных данных указывает на то, что нар€ду с энергией и импульсом, существует ещЄ одна физическа€ величина, дл€ которой в замкнутой системе тел выполн€етс€ закон сохранени€, - момент импульса.

   

ќпределение: ћоментом импульса частицы относительно неподвижного начала (точки 0) называют вектор , определ€емый как векторное произведение радиус-вектора частицы на еЄ импульс :

, (11.1)

где аксиальный вектор, перпендикул€рный плоскости, образуемой вектором импульса (скорости) и радиус-вектором.

¬екторы , и образуют правовинтовую систему, поэтому чтобы определить направление вектора , поступаем следующим образом. —овмещаем начала векторов, сто€щих в скобках, и вращаем УбуравчикФ от первого вектора ко второму. “огда поступательное движение УбуравчикаФ дает направление вектора .

ƒлина (модуль) вектора момента импульса равна

где плечо вектора импульса относительно точки 0. ћомент импульса системы материальных точек относительно точки 0 есть векторна€ сумма моментов импульсов каждой из частиц относительно того же начала:

. (11.2)

 

11.2. ”равнение моментов.

 

–ассмотрим движение отдельной частицы под действием силы в течение промежутка времени и определим, что происходит с моментом импульса этой частицы:

ѕервое слагаемое обращаетс€ в нуль в силу свойств векторного произведени€, т.к. вектор скорости параллелен вектору импульса. “аким образом

. (11.3)

¬ектор, сто€щий в правой части уравнени€, называетс€ моментом силы относительно точки 0:

. (11.4)

ѕолучаем, что механическа€ величина, называема€ моментом силы, ответственна за изменение вектора в данной системе отсчета.

уравнение моментов. (11.5)

ќпределение: ѕроизводна€ по времени от момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действующей силы относительно того же начала.

ќтметим, что в инерциальных системах отсчета момент силы определ€етс€ только силами взаимодействи€, в неинерциальных системах нар€ду с силами взаимодействи€ необходимо учитывать также силы инерции.

ћодуль вектора момента силы равен

,

где плечо вектора силы относительно точки .

         

√еометрическа€ интерпретаци€ векторного произведени€ дана на рисунке. ¬екторы , и образуют правовинтовую систему. ƒлина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

јналогично определ€ютс€ направление и длина вектора момента силы .

 

”равнение моментов (11.9), как и основное уравнение динамики, позвол€ет решать задачи 2-х типов. 1).ќпределение момента сил относительно интересующего нас начала , если известна зависимость от времени момента импульса относительно той же точки . Ёта задача сводитс€ к нахождению производной по времени от момента импульса.

.

2).Ќахождение приращени€ момента импульса частицы относительно точки , если известна зависимость от времени момента сил , действующего на частицу, относительно того же начала. –ешаетс€ интегрированием:

. (11.6)

ѕримечание. ¬еличину, сто€щую в правой части уравнени€ (11.6) называют импульсом момента силы.

 

11.3. «акон сохранени€ момента импульса.

 

–ассмотрим произвольную систему материальных точек. ћомент импульса этой системы:

, (11.7)

причем все векторы в (11.7) определены относительно одной и той же точки .

Ќас будет интересовать, что €вл€етс€ причиной изменени€ момента импульса системы частиц. ƒл€ этого

продифференцируем (11.7) по времени

. (11.8)

–ассматрива€ все силы, действующие на частицы системы, как внутренние и внешние можем записать

. (11.9)

ѕредставив суммарный момент внутренних сил как

,

нетрудно видеть, что он равен нулю , т.к. внутренние силы Ц

парные силы. ƒействительно, в каждой паре эти силы равны по

модулю, противоположны по направлению

и лежат на одной пр€мой, т.е. имеют одинаковое плечо (см. рисунок).

ќтсюда следует, что

. (11.10)

»так, дл€ системы взаимодействующих частиц уравнение

моментов имеет вид:

. (11.11)

ѕроизводна€ момента импульса системы материальных точек по времени равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на частицы системы.

ƒл€ замкнутой системы , тогда из (11.11) получаем

, (11.12)

т.е.

. (11.12a)

(11.12a) выражает закон сохранени€ момента импульса замкнутой системычастиц.

¬ инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц сохран€етс€.

ћоменты импульсов отдельных частиц или частей замкнутой системы могут измен€тьс€ со временем. ќднако эти изменени€ всегда происход€т так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса другой еЄ части, относительно одной и той же точки инерциальной системы отсчета.

Ќар€ду с законами сохранени€ импульса и энергии, закон сохранени€ момента импульса €вл€етс€ фундаментальным законом природы.

ƒл€ одной материальной точки, если момент силы равен нулю, также получаем

 

11.4. ћомент импульса и силы относительно оси.

 

”равнение моментов (11.5) - векторное уравнение, поэтому в декартовых координатах его можно записать можно записать в виде трех скал€рных уравнений:

. (11.13)

ѕусть в интересующей нас системе отсчета ось неподвижна, и точка , относительно которой рассматриваютс€ моменты, находитс€ на этой оси.

       


ћоментом импульса относительно оси называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки на данной оси (см. рисунок). јналогично определ€етс€ и момент силы относительно любой выбранной оси.

ќбозначим их и , тогда, спроектировав (11.5) на ось , получаем

, (11.14)

т.е. производна€ по времени от момента импульса частицы относительно оси равна моменту силы относительно той же оси.

≈сли

, то ,

т.е. если момент силы относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остаетс€ посто€нным, хот€ сам вектор момента импульса может мен€тьс€.

Ќайдем аналитические выражени€ дл€ и , т.е. будем искать проекции на ось векторных произведений и . Ёту задачу удобнее решать в цилиндрической системе координат. ѕоэтому

выразим векторы и через координаты цилиндрической

системы, св€зав с частицей орты , направленные в сторону

возрастани€ соответствующих координат:

, (11.15)

, (11.16)

где плечо (перпендикул€р, опущенный из точки на ось , см.

рисунок).

¬екторное произведение можно представить с помощью

определител€

¬з€в проекцию вектора на соответствующую ось, получаем момент импульса частицы относительно оси :

 

(11.17).

≈сли учесть, что

,

т.к. скорость выражаетс€ через угловую скорость как и, соответственно, , можно привести выражение дл€ момента импульса частицы относительно оси к виду, более удобному дл€ практических применений:

. (11.18).

«аметим, что проекци€ на ось вектора угловой скорости , с которой поворачиваетс€ радиус-вектор частицы.

јналогично записываетс€ выражение дл€ момента силы относительно оси :

. (11.13)

јнализиру€ полученные выражени€, можно сделать очевидный, но важный вывод: проекции и не завис€т от выбора точки на оси , относительно которой определены векторы и .  роме того, и - алгебраические величины, знаки которых соответствуют знакам проекций и .

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1992 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—амообман может довести до саморазрушени€. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2297 - | 2144 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.047 с.