Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра­кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела пе­ременной массы на примере движения ра­кеты. Если в момент времени t масса раке­ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm

 

 

и станет равной т- dm, а скорость станет равной v +d v. Изменение импульса систе­мы за отрезок времени dt

dp = [(m-dm) (v +d v)+dm (v + u)]- m v,

где и — скорость истечения газов относи­тельно ракеты. Тогда

d p = md v + u dm

(учли, что dm dv — малый высшего порядка малости по сравнению с осталь­ными).

Если на систему действуют внешние силы, то d p = F dt, поэтому

F dt = m d v + u dm,

md v /dt= F - u dm/dt. (10.1)

Член - u dm/dt называют реактивной силой

at

F _p. Если u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормо­зится.

Таким образом, мы получили уравне­ние движения тела переменной массы

m a = F + F _p, (10.2)

которое впервые было выведено И. В.Ме­щерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где

предложил теорию движения ракеты и ос­новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате­лем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движе­нию ракеты, на которую не действуют ни­какие внешние силы. Полагая F = 0 и счи­тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра­кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m₀. Следовательно,

v = uln(m₀/m). (10.3)

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истече­ния и газов, тем больше может быть ко­нечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.

Контрольные вопросы

• Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Зем­лей, строго говоря, неинерциальна?

• Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?

• Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона? Почему? «Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами.» В чем заключается принцип независимости действия сил?

• Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды внешнего (сухого) трения Вы знаете?

• Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

• В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?

• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения импульса?

• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс за­мкнутой системы?

 

Задачи

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Опреде­лить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15. [ 10,9 м/с]

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с]

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a=30° и beta=45°. Гири равной массы (m₁ = m₂ = 2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f ₁= f ₂= f =0,l и пренебрегая трением в блоке, определить: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с²; 2) 12 Н]

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом s = 45 ° к горизонту. Масса платформы с пушкой М = 20 т, масса снаряда m=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на рас­стояние s = 3 м. [ v₀ = МV 2fgs/(m cosa) = 970 м/с]

2.5. На катере массой m = 5т находится водомет, выбрасывающий m = 25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, опреде­лить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную ско­рость катера. [1) v = u(1-e^mt/m = 6,6 м/с; 2) 7 м/с]