Уравнения энергии

Уравнение и интеграл Бернулли. Решение уравнений Эйлера (1.76) приводит к одному из наиболее важных уравнений гидродинамики - уравнению Бернулли. Умножим первое из уравнений Эйлера (1.76) на dx, второе - на dy, третье - на dz, а затем почленно сложим. В результате получим

. (1.108)

Проинтегрируем (1.108) вдоль элементарной струйки при следующих допущениях:

1) поток будем считать установившимся;

2) будем считать, что течение происходит в поле сил тяжести (в поле земного тяготения) и другие массовые силы отсутствуют;

3) будем считать, что координатная плоскость x0y горизонтальна, а ось z направлена по вертикали вверх.

Рассмотрим отдельные суммы, входящие в (1.108).

Учитывая, что , , , представим сумму в левой части в виде

, (1.109)

где u - действительная полная скорость в данной точке.

На основании второго и третьего допущений проекции ускорений массовых сил на оси координат составят X=Y= 0, Z=-g. Тогда первая сумма в правой части (1.108) примет вид

Xdx+Ydy+Zdz=-gdz. (1.110)

В силу первого допущения все параметры потока, в том числе и давление, не зависят от времени и являются функциями только координат, т. е. p = p (x,y,z). Следовательно, выражение в скобках у второго слагаемого в правой части (1.108) является полным дифференциалом давления, т. е.

. (1.111)

Подставляя (1.109), (1.110), (1.111) в (1.108) и собирая все слагаемые в левой части, получим

. (1.112)

Выражение (1.112) называют дифференциальным уравнением Бернулли.

Единица измерения членов уравнения (1.112) - Дж/кг.

Уравнение Бернулли можно представить в других видах, умножив все его члены на ρ,

(1.113)

или разделив на g

. (1.114)

При этом единицы измерения всех членов уравнения (1.113) - Па, а (1.114) - м.

Проинтегрировав уравнения (1.112) - (1.114), получим выражения

; (1.115)

; (1.116)

. (1.117)

Уравнения (1.115)-(1.117) называются интегралом Бернулли.

Энергетический смысл интеграла Бернулли. Принимая ρ = const, в результате интегрирования уравнения (1.112) получим

const. (1.118)

Единица измерения всех членов уравнения (1.118), так же как и (1.112) - Дж/кг.

Движущаяся частичка жидкости обладает вполне определенным запасом механической энергии. Если абсолютно твердое тело обладает запасом потенциальной энергии положения в поле сил тяжести и кинетической энергией, то жидкая частичка, как упругое тело, обладает еще и запасом потенциальной энергии состояния. Эта энергия тем больше, чем больше объем жидкости и чем выше давление, и проявляется в том, что, например, нагнетание жидкости в сосуд может привести к разрушению сосуда, а сжатый газ может совершать работу при расширении.

Следовательно, полная механическая энергия жидкой частички Э может быть определена как сумма Э = П _п +П _с +К, где П _п - потенциальная энергия положения в поле сил тяжести; П _с - потенциальная энергия состояния; К - кинетическая энергия.

Потенциальная энергия положения может быть подсчитана по общей формуле механики П _п =mgz, где m - масса жидкой частички, кг; z - высота ее положения над горизонтальной плоскостью отсчета, м.

Рассмотрим удельную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости. Удельная потенциальная энергия положения составляет и в интеграле Бернулли (1.118) представлена первым слагаемым.

Потенциальная энергия состояния вычисляется по формуле П _с = pV, где p - давление, Па; V - объем жидкой частички, м³.

Удельная потенциальная энергия состояния в интеграле Бернулли (1.118) представлена вторым слагаемым.

Кинетическая энергия жидкой частички .

Удельная кинетическая энергия в интеграле Бернулли (1.118) представлена третьим слагаемым.

Полная механическая энергия жидкой частички определяется, следовательно, суммой , а удельная механическая энергия составит

. (1.119)

Сравнивая (1.118) и (1.119), приходим к энергетическому смыслу интеграла Бернулли: удельная механическая энергия идеальной несжимаемой жидкости остается постоянной вдоль элементарной струйки. Таким образом, интеграл Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии для элементарной струйки, т. е. является энергетическим уравнением.

Из интеграла Бернулли следует также вывод о том, что отдельные составляющие удельной механической энергии могут изменяться, но при этом происходит преобразование одного вида энергии в другой, т. е. уменьшение одного слагаемого обязательно должно сопровождаться увеличением хотя бы одного из двух остальных и наоборот.

Сумма членов интеграла Бернулли (1.115) дает полный запас энергии, которым обладает единица массы (e), (1.116) - единица объема (p), (1.117) - единица силы тяжести относительно принятой плоскости сравнения (H).

Члены , , выражают кинетическую энергию, суммы , , - потенциальную энергию, где gz, ρgz, z - потенциальная энергия положения, а , , - потенциальная энергия состояния соответственно единицы массы, объема, единицы силы тяжести. Можно также сказать, что уравнения (1.116) и (1.117) выражают собой то же, что и уравнение (1.99), но в масштабе и соответственно.

Уравнением (1.115) удобно пользоваться при исследовании движения газа с переменной плотностью, например, в пневмосетях и компрессорах.

Если при движении газа изменения давления незначительны и температура постоянна, то можно считать ρ = const. В этих условиях удобно пользоваться уравнением (1.116), которое примет вид

const. (1.120)

Выражением (1.120) удобно пользоваться при исследовании движения воздуха в вентиляционных сетях и вентиляторах.

При движении капельной жидкости (воды, масла и т. п.), плотность которой постоянна, удобнее всего пользоваться уравнением (1.117), которое для ρ = const примет вид

const. (1.121)

Уравнение (1.121) применяется при расчетах водопроводов, гидромагистралей, насосов.

Часто употребляется иная запись уравнения (1.117). Обозначая индексом 1 параметры потока в первом по ходу движения жидкости сечении струйки, а индексом 2 - в последующем, можем записать

. (1.122)

Геометрический смысл уравнения Бернулли. Все слагаемые уравнения (1.122) имеют размерность длины, поэтому можно говорить о геометрическом смысле уравнения Бернулли: z - геометрическая (геодезическая, нивелирная) высота; - пьезометрическая высота; - скоростная (динамическая) высота; - высота потерь энергии (напора).

Приведем иные названия: z - геометрический напор; - пьезометрический напор; - скоростной напор; - потеря напора; - полный напор.

Рассмотрим поток жидкости в канале, измеряя все слагаемые уравнения Бернулли (1.122) в различных сечениях (Рис. 1.30, показаны замеры лишь для двух сечений 1-1 и 2-2). За плоскость отсчета примем произвольную горизонтальную плоскость 0-0.

Геометрические высоты z легко определяются как расстояние по вертикали от плоскости отсчета до центров тяжести соответствующих сечений. Пьезометрические высоты определяются как высоты поднятия жидкости в пьезометрах, отсчитанные по вертикали от центров тяжести соответствующих сечений. Скоростные высоты определяются как разности уровней жидкости в трубках Пито и пьезометрах, помещенных в соответствующие сечения (необходимо отметить, что для точного измерения величины трубку Пито следует помещать в такую точку сечения, где локальная скорость u равна средней скорости v, что не всегда можно сделать, ибо положение этой точки редко известно).

Высота потерь энергии на участке, ограниченном сечениями 1-1 и 2-2, определится как разность уровней жидкости в трубках Пито, помещенных в эти сечения.

Если аналогичные измерения выполнить для множества промежуточных сечений и соединить плавной линией верхние мениски жидкости в трубках Пито, то мы получим линию a (см. Рис. 1.30), которую называют линией полного напора.

Соединяя плавной линией верхние мениски жидкости в пьезометрах мы получим линию b (см. Рис. 1.30), которую называют пьезометрической линией.

Линию, соединяющую центры тяжести сечений, называют осью потока.

Характер поведения этих линий по длине потока l определяется так называемыми уклонами.

Гидравлическим уклоном называют величину

, (1.123)

определяющую поведение линии полного напора.

Пьезометрический уклон

, (1.124)

определяет поведение пьезометрической линии.

Геометрический (геодезический) уклон

, (1.125)

характеризует поведение оси потока.

В практических расчетах чаще используются средние значения уклонов, вычисляемые как отношение разностей соответствующих величин в начале и конце к длине потока.

Так как вдоль по потоку полная энергия его за счет потерь непрерывно уменьшается, то линия полного напора всегда понижается. Гидравлический уклон (1.124) всегда остается положительным.

Пьезометрическая линия может и понижаться, и повышаться. Ее поведение зависит как от потерь напора, так и от характера изменения кинетической энергии. При расширении канала скорость потока и скоростной напор уменьшаются. Если скорость уменьшения скоростного напора окажется выше, чем скорость уменьшения полного напора, то пьезометрическая линия будет подниматься.

Диаграммы напоров. В ряде задач гидравлики целесообразно бывает дать графическое изображение уравнения Бернулли для того или иного канала. Такие графики называют диаграммами напора. Они позволяют очень наглядно анализировать поведение каждого слагаемого в уравнении Бернулли при течении жидкости по каналу. С их помощью удобно также производить некоторые числовые расчеты. Обычно диаграммы строят по результатам конкретных расчетов, откладывая в масштабе для каждого сечения значения напоров. Рассмотрим принцип построения диаграммы.

Рис. 1.31. Диаграмма напоров

Пусть из открытого сосуда больших размеров жидкость вытекает в атмосферу по трубе переменного сечения (Рис. 1.31). Выберем в качестве плоскости отсчета произвольную горизонтальную плоскость 0-0. Построение диаграммы начнем с линии полного напора.

Для этого определим полный напор в сечении, совпадающем со свободной поверхностью жидкости в сосуде. Условимся в уравнении Бернулли и при построении пользоваться избыточными давлениями. Тогда на свободной поверхности .

Так как площадь сосуда значительно превосходит площадь сечения трубы, то в соответствии с уравнением расхода скорость жидкости в сосуде будет очень мала по сравнению со скоростью в трубе, а следовательно, можно пренебречь скоростным напором .

Таким образом, полный напор определяется лишь геометрическим напором (на диаграмме он отмечен точкой a). Полные напоры в последующих сечениях будем оценивать как разность полного напора в предыдущем сечении и потерь напора на участке между этими сечениями

. (1.126)

Забегая несколько вперед, отметим, что различают два вида потерь напора: потери на трение, обусловленные вязкостью жидкости и местные потери, обусловленные резким изменением конфигурации потока, которые в отличие от потерь на трение (путевых) принято считать сосредоточенными в одном сечении потока. Потери на трение тем больше, чем больше длина канала и скорость потока и чем меньше сечение (диаметр) канала.

В сечении 1-1 сразу за входом потока из сосуда в трубу полный напор будет меньше напора в сосуде на величину местных потерь входа. Вычитая из полного напора в сосуде (точка a) потери входа h ₁, получим точку b, определяющую полный напор в сечении 1-1.

На участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 будут происходить потери напора на трение. Так как труба на этом участке имеет постоянное сечение, то везде на единицу длины приходятся одинаковые потери, т. е. график полного напора будет иметь линейный характер. Вычитая из полного напора в сечении 1-1 величину потерь напора на трение на участке h ₂, получим полный напор в сечении 2-2 (точка с). Соединив точки b и с прямой линией, получим график полного напора для первого участка трубы.

По аналогии с входом в трубу, вычитая из полного напора в сечении 2-2 (точка с) местные потери при внезапном расширении потока h ₃, получим полный напор в сечении 3-3 за внезапным расширением (точка d), вычитая из которого потери на трение на втором участке трубы h ₄, получим полный напор в выходном сечении 4-4 (точка е).

При соединении точек d и е необходимо учесть, что потери на трение на единицу длины (гидравлический уклон) в начале участка (большие диаметры) будут меньше, чем в конце (малые диаметры). Следовательно, линия полного напора будет направлена выпуклостью вверх. Таким образом, получили линию полного напора abcde.

Перейдем теперь к построению пьезометрической линии. С этой целью из полного напора в каждом сечении будем вычитать скоростной напор, т. к.

. (1.127)

На свободной поверхности жидкости в сосуде скоростной напор равен нулю и пьезометрический напор совпадает с полным (точка а).

На участке между сечениями 1-1 и 2-2 сечение трубы, скорость и скоростной напор остаются постоянными, и пьезометрическая линия () будет параллельна линии полного напора.

При переходе от сечения 2-2 к сечению 3-3 происходит резкое увеличение сечения, сопровождающееся уменьшением скорости и скоростного напора. Поэтому пьезометрический напор в сечении 3-3 определиться вычитанием из полного напора значительно меньшей величины (отрезок ), чем для сечения 2-2 (отрезок ).

На втором участке трубы сечение постепенно уменьшается, что приводит к постепенному возрастанию скорости и скоростного напора. Следовательно, в каждом последующем сечении из полного напора необходимо вычитать все большую и большую величину. Поэтому пьезометрическая линия непрерывно удаляется от линии полного напора. Заканчивается пьезометрическая линия в точке , совпадающей с центром тяжести выходного сечения 4-4. Это объясняется тем, что в выходном сечении снова действует атмосферное давление и пьезометрический напор по избыточному давлению равен нулю. Полный же напор складывается из геометрического и скоростного.

По аналогии с построением диаграммы напора по заданному профилю потока возможно решение и обратной задачи: построение конфигурации трубопровода по заданным диаграммам напора.

Примеры практического использования уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли позволяет получить расчетные формулы для различных случаев движения жидкости и решить многие практические задачи. При этом следует иметь в виду, что оно справедливо только для установившихся потоков с плоскими живыми сечениями.

Для практического использования уравнения Бернулли при решении различных задач проводят два сечения и горизонтальную плоскость - плоскость сравнения. Последнюю, чтобы было меньше неизвестных, проводят через центр тяжести одного или, если это возможно, двух сечений, и тогда z ₁ или z ₂ (или оба) будут равны нулю. Сечения проводят нормально к направлению движения жидкости, а места их проведения выбирают так, чтобы сечения были плоскими, содержали неизвестные величины, подлежащие определению, и достаточное число известных величин. Обычно такими местами являются свободная поверхность жидкости, вход или выход из трубопровода, места подключения измерительных приборов и пр. Далее для выбранных сечений, которые нумеруются по ходу движения жидкости, записывается уравнение Бернулли, подставляются в него числовые значения величин и вычисляются искомые.

При решении некоторых задач приходится дополнительно использовать условие неразрывности (сплошности) течения и брать более двух сечений.

В уравнение Бернулли подставляются абсолютные давления. Покажем это на простейшем примере (Рис. 1.32). Пусть требуется определить скорость истечения жидкости из резервуара через отверстие в стенке при постоянном напоре (уровень жидкости в резервуаре постоянен).

Проводим сечение 1-1 по уровню жидкости в резервуаре и сечение 2-2 на выходе струи из отверстия. Проводим произвольную горизонтальную плоскость сравнения x0y. Известными величинами являются z ₁, z ₂(z ₁ -z ₂ = h), p ₁ = p ₂ = p _a (резервуар открыт и истечение происходит в атмосферу). Тогда, пренебрегая незначительными потерями напора при выходе струи из отверстия и принимая коэффициент a = 1, из уравнения (1.122) находим .

Измерение давлений и локальных скоростей. Покоящаяся жидкость не обладает кинетической энергией. Тогда интеграл Бернулли (1.118) примет вид

const. (1.128)

Обозначив давление на свободной поверхности жидкости p ₀, а ее координату z ₀ (Рис. 1.33), уравнению (1.128) можем придать вид

или . (1.129)

Обозначив глубину погружения точки (например, А) под свободной поверхностью жидкости через h = z ₀- z, придадим (1.129) вид .

Последнее является основным уравнением гидростатики (1.26) и было получено ранее решением дифференциальных уравнений равновесия Эйлера.

Введем в точку В (Рис. 1.33) закрытый пьезометр, представляющий собой стеклянную трубку с запаянным верхним концом из которой удален воздух. Под действием давления в точке В жидкость поднимается на некоторую высоту h’. Для ее вычисления запишем (1.26) для покоящейся жидкости в пьезометре. Так как из него удален воздух, то над жидкостью давление будет равно нулю.

, (1.130)

откуда

. (1.131)

Таким образом, высота поднятия жидкости в пьезометре в некотором масштабе (1: g) определяет удельную потенциальную энергию состояния жидкости, а выражение (1.131) можно использовать для расчета давления, измеренного с помощью пьезометра. Формула (1.131) определяет способ пересчета давлений, выраженных высотой столба жидкости, в размерные единицы.

Так как (1.26) получена на основании (1.130), то легко видеть, что в какую бы точку данной покоящейся жидкости мы ни помещали пьезометр, сумма координаты z этой точки и высоты подъема жидкости в пьезометре остается постоянной, т. е. верхний мениск жидкости в пьезометре всегда будет находиться на одном и том же уровне. Горизонтальную плоскость a-a (Рис. 1.33), проведенную через верхние мениски жидкости в пьезометрах, называют напорной плоскостью, построенной по абсолютному давлению.

Закрытый пьезометр, как видим, измеряет абсолютное давление в жидкости. Избыточное давление можно измерить с помощью открытого пьезометра, представляющего собой стеклянную трубку, открытую с обоих концов.

Поместим открытый пьезометр (см. Рис. 1.33) в точку , расположенную на той же глубине под свободной поверхностью, что и точка В. Из (1.26) видно, что давления в точках и В будут одинаковы.

Над свободной поверхностью жидкости в пьезометре будет действовать атмосферное давление, поэтому на основании (1.26) можем написать , откуда

, (1.132)

т. е. высота поднятия жидкости в открытом пьезометре в масштабе (1: g) измеряет ту же удельную потенциальную энергию состояния жидкости, но определенную по избыточному давлению.

Сказанное выше об уровнях жидкости в закрытых пьезометрах справедливо и для открытых, с той лишь разницей, что напорная плоскость по избыточному давлению (см. Рис. 1.33), проведенная через верхние мениски жидкости в открытых пьезометрах, будет расположена ниже плоскости a-a на высоту , в чем нетрудно убедиться с помощью (1.132) и (1.133).

Для измерения локальных скоростей в закрытых каналах, движение жидкости в которых называют напорным, используется трубка Пито-Прандтля, представляющая собой комбинацию трубки Пито и пьезометра (Рис. 1.34), которые обычно объединяются в одну конструкцию.

Трубка Пито-Прандтля вводится в поток таким образом, чтобы открытый конец трубки Пито был направлен перпендикулярно к вектору скорости, а открытый конец пьезометра - по касательной.

Как и в предыдущем случае, для трубки Пито справедливо условие

откуда

, (1.133)

только высота h и имеют здесь иной смысл (см. Рис. 1.34).

Поскольку жидкость проскальзывает около входного сечения пьезометра не затормаживаясь, то в нем будет действовать такое же давление, как и в движущейся жидкости, т. е. . Для него на основании (1.70) можем написать (т. к. на свободной поверхности жидкости в пьезометре действует атмосферное давление, как и в трубке Пито) уравнение

, (1.134)

но в данном случае представляет собой высоту поднятия жидкости в пьезометре.

Выражение (1.134), справедливое и в рассматриваемом случае, после подстановки и приведет опять-таки к (1.135), а для практических расчетов необходимо писать

, (1.135)

где с = 1,01…1,05; h - разность уровней жидкости в трубке Пито и пьезометре.

Измерение расхода. Трубка Пито-Прандтля служит для измерения локальных скоростей движения. В том случае, если известно живое сечение потока, расход может быть рассчитан по уравнению (1.26). Существуют приборы для непосредственного измерения расхода. Большое распространение в практике нашли расходомер Вентури и нормальная диафрагма (шайба).

Расходомер Вентури. Большим преимуществом этого прибора является простота конструкции и отсутствие каких-либо движущихся частей. Он может быть расположен горизонтально, вертикально и под любым углом, что принципиального значения не имеет. Рассмотрим расходомер с горизонтальной осью (Рис. 1.35).

Он состоит из двух цилиндрических труб А и В диаметром d ₁, соединенных посредством двух конических участков (патрубков) C и D с цилиндрической вставкой Е меньшего диаметра d ₂. В сечениях 1-1 и 2-2 к расходомеру присоединены пьезометры а и b, разность уровней жидкости в которых показывает разность давлений в этих сечениях.

Составляя уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 и пренебрегая очень небольшими на малой длине между этими сечениями потерями, получаем

, (1.136)

откуда , но и, следовательно, .

Так как получено одно уравнение с двумя неизвестными, то дополнительно воспользуемся условием неразрывности течения , откуда .

Подставив значение в предыдущее уравнение

, (1.137)

определим среднюю скорость в сечении 2-2:

. (1.138)

Тогда искомый расход жидкости определится по уравнению

. (1.139)

Однако вследствие неравномерности распределения скоростей в поперечных сечениях потока, а также неизбежных потерь напора между рассматриваемыми сечениями действительный расход жидкости будет несколько отличаться от вычисленного по этой формуле, что учитывают, вводя в нее поправочный коэффициент b. В результате имеем

. (1.140)

Коэффициент b для каждого расходомера устанавливают опытным путем на основании ряда предварительных измерений расходов при различных скоростях движения жидкости. В этом заключается градуировка расходомера.

Практически для определения расхода пользуются формулой

, (1.141)

где коэффициент называют постоянной расходомера (для данного расходомера он имеет вполне определенное значение).

На практике вместо вычисления по формулам расход жидкости часто определяют по так называемым градуировочным (тарировочным) кривым, получаемым опытным путем и дающим для данного расходомера прямую зависимость между показаниями пьезометров (или дифференциального манометра) h и измеряемыми расходами жидкости Q.

Для градуировки расходомерных устройств используются простые и точные способы измерения расхода жидкости: объемный и весовой.

При объемном способе измерения протекающая в исследуемом потоке (например, в трубе) жидкость поступает в особый, тщательно проградуированный сосуд (мерный бак), время наполнения которого фиксируется по секундомеру. Если объем этого бака V, а измеренное время его наполнения t, то объемный расход Q = V/t.

При весовом методе жидкость, поступившая в бак за время t, взвешивается, и весовой расход определяется как G = mg/t.

Нормальная диафрагма. Она обычно выполняется в виде тонкого диска с отверстием, центр которого совпадает с осью трубы (рис. 1.36). Края отверстия чаще всего имеют острые входные кромки или закругляются по форме втекающей в отверстие струи жидкости. Для измерения перепада давления до и после диафрагмы обычно используют дифманометры. Расход определяют по формуле (1.141). Коэффициент с находят опытным путем для каждого типа диафрагмы в отдельности.

Определение потерь напора на различных участках трубопровода. Пусть имеем горизонтальный трубопровод (Рис. 1.37), включающий прямолинейный участок диаметром d ₁, участок внезапного расширения с диаметра d ₁ до диаметра d ₂ и участок внезапного сужения с диаметра d ₂ до диаметра d ₃.

Требуется определить потери напора на каждом участке трубопровода при известном расходе жидкости Q, если известны показания пьезометров h ₁, h ₂, h ₃, h ₄, h ₅, h ₆, ограничивающих перечисленные участки трубопровода.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, 3-3 и 4-4, 5-5 и 6-6, проведенных через места (точки) подключения соответствующих пьезометров. За плоскость сравнения выберем плоскость 0-0, проходящую по оси трубопровода, что делает z ₁ z ₂ = 0, z ₃ = z ₄ = 0, z ₅ = z ₆ = 0. Тогда для прямолинейного участка