Пусть – произвольные множества. Декартово произведение множеств и (обозначается как ) – это множество всех упорядоченных пар таких, что .
Пример 2. При записи шахматной партии используются множества
–для обозначения вертикалей, –для обозначения горизонталей. Поля шахматной доски обозначаются с помощью элементов множества . ■
Можно построить декартово произведение произвольного числа множеств:
.
Упорядоченный набор элементов будем далее называть вектором. Компоненты будем называть проекциями вектора:
Рассматривая частный случай декартова произведения при , получим множество .
Используя понятие декартова произведения, определим соответствие между множествами как упорядоченную тройку множеств:
(2)
Множество , которое состоит из векторов , называется графиком соответствия. Зададим область определения соответствия как множество
и область значений соответствия как множество
.
Пусть теперь – произвольный фиксированный элемент множества . Элемент называется образом элемента при данном соответствии, если . Если при данном соответствии каждый элемент из области определения имеет единственный образ, то соответствие называют функцией.
В дальнейшем изложении встретятся функции многих переменных, то есть функции, для которых множество из (2) само является декартовым произведением: . Компоненты вектора являются в этом случае независимыми переменными (аргументами). Обозначать такие функции будем как или .
Пример 3. Расстояние точки на координатной плоскости от начала координат может быть задано функцией f: R 2 → R, которая представлена формулой ■