Глава 4. Логические переменные и логические функции

Глава 4. Логические переменные '- ' ^д и логические функции

■Ф- ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Буквы, обозначающие высказывания (А, В,...), можно рассматривать как имена логических переменных, так как ими можно заменить любые выска­зывания (с любым содержанием). То есть построенные нами таблицы истин­ности, задающие логические операции, верны для любых высказываний.

Говоря выше о логических операциях над высказываниями, мы фак­тически рассмотрели основные логические операции над двумя логичес­кими переменными.

Логические переменные принимают два значения: 0 и 1 («истина» и «ложь»).

В алгебре логики из логических переменных, логических констант (О и 1), знаков логических операций и скобок составляются логические выражения (подобно тому как в алгебре чисел формируются арифмети­ческие выражения).

Логическое выражение (логическая форма) — это выражение, со­держащее одну или несколько переменных, соединенных знаками логи­ческих операций и скобками и превращающихся в высказывания при под­становке вместо этих переменных простых суждений.

Например, логическая форма (А V В) —> С при А = Вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ; В = Вы регулярно сохра­няете свои файлы на дискетах; С = Снижается вероятность потери данных превращается в высказывание Е= Если вы пользуетесь последни­ми версиями антивирусных программ или регулярно сохраняете свои файлы на дискетах, то снижается вероятность потери данных.

Выражения алгебры логики также называют формулами.

Логическая функция —это функция, определенная на множестве истинно­стных значений (истина, ложь) и принимающая значение из того же множества.

Например: F{AJ3)=AvB —логическая функция двух переменных — А и В.

Сколько же всего может быть различных логических функций двух переменных? Попробуем ответить на этот вопрос.

Две переменные, каждая из которых может быть либо нулем, либо едини­цей, образуют 2² = 4 различных набора значений: (0,0); (0,1); (1,0); (1,1). На каждом наборе функция принимает значение либо 0, либо 1. Например, неко­торая функция двух переменных будет полностью определена так: F(0,0) = 1; F(0, 1) = 1; F( 1,0) = 0; F( 1,1) = 0. Так как каждая функция двух переменных однозначно задается четырьмя значениями, каждое из которых равно либо 0, либо 1, то количество таких функций будет равно количеству комбина­ций этих четырех значений. Таких комбинаций 2⁴ = 16. То есть всего суще­ствует 16 различных функций двух переменных.

Из нижеприведенной таблицы логических функций двух переменных видно, что каждой функции соответствует ее отрицание (константа 1 — отрицание константы 0).

Функцию можно задавать как в табличном виде, так и в виде форму­лы. Ниже будет показано, что всегда возможен переход от табличного за­дания к формуле.

Сводная таблица логических функций двух переменных