Применим формулу (**) к преобразованию с помощью полярных координат (обозначения общепринятые)
Якобиан будет равен 
Тогда 
(***), где
D и 
- соответствующие друг другу области в плоскостях OXY и 
(здесь r и 
рассматриваются как декартовы координаты точки).
Например, пусть D - полукруг радиуса R, расположенный в полуплоскости 
. Во вспомогательной плоскости ему соответствует прямоугольник 
(здесь точке (0,0) плоскости OXY соответствует отрезок 
на оси 
в плоскости . Это нарушение взаимной однозначности происходит на границе области , при этом формулы преобразования сохраняются).
Если D - весь круг радиуса R, то ему соответствует прямоугольник 
|
Формулу для элемента площади в полярных координатах можно получить из геометрических соображений. Построим в плоскости OXY координатные линии для полярной системы координат: r=const, 
. Они разбивают плоскость на криволинейные четырехугольники, ограниченные дугами концентрических окружностей и их радиусами.
Рассмотрим выделенный четырехугольник.
Его площадь 
Второе слагаемое – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем первое слагаемое. Отбрасывая его получим приближенное равенство 
, а это приводит к формуле (***).
Замечание Чтобы привести двойной интеграл в полярных координатах к повторному, обычно нет необходимости строить область , во вспомогательной плоскости , а можно просто руководствоваться следующими правилами:
1. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования D, заключенной между лучами 
и линии встречают ее границу не более чем в двух точках.
Возможны такие области
Полярными уравнениями кривых AEC и ABC пусть будут 
. Обе функции непрерывны в замкнутом интервале 
. Интегрируя сначала по r в пределах его изменения при постоянном , то есть от 
, а затем по от 
получим 
Интегрирование в обратном порядке, то есть сначала по , а затем по r обычно не встречается.
Если линия ACE (левый рисунок) стягивается в точку 0, то 
В частном случае, когда областью интегрирования служит часть кругового кольца 
пределы интегрирования постоянны по обеим переменным 
2. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования. Полярный радиус пересекает границу в одной точке. Интегрируя сначала по r, затем по , получаем 
, где 
- полярное уравнение границы области.
В частности, когда 
, то есть, когда область интегрирования есть круг с центром в полюсе, получаем 
Примеры
1. Расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если D – круг 
.
Решение. Переходя к полярным координатам, получим уравнение окружности в виде 
. Тогда 
. Пределы изменения по от 
. Получаем следующий интеграл 
.
2. Вычислить объем общей части шара радиуса а и кругового цилиндра радиуса а/2 при условии, что центр шара лежит на боковой поверхности цилиндра.
Решение
Система координат расположена следующим образом: ось OZ лежит на боковой поверхности цилиндра, ось ОХ совпадает с диаметром цилиндра и радиусом шара. В силу симметрии измеряемого тела относительно плоскостей OXY и OXZ, можно вычислить четвертую часть объема, заключенного в первом октанте. Получаем
, где D – полукруг, являющийся половиной основания цилиндра. Удобно преобразовать двойной интеграл к полярным координатам. Полярное уравнение полуокружности, ограничивающей область D - (см. предыдущий пример). Сначала интегрируем по r, затем по .
