Доказательство
сумма первых n элементов ряда;
сумма всех положительных среди первых n элементов ряда;
сумма абсолютных величин всех отрицательных среди первых n элементов ряда;
сумма абсолютных величин всех первых n элементов ряда;
Тогда имеет место 
и 
Так как по условию 
имеет предел (обозначим 
), а 
и 
- положительные и возрастающие функции от n, причем, 
и 
, то они имеют пределы. Поэтому при 
стремится к пределу. Теорема доказана.
Это достаточный признак не является необходимым, то есть ряд 
может сходиться, а ряд 
- расходится.
Пример
- сходится
- расходится (ряд из абсолютных величин - гармонический ряд)
Определение
Ряд, абсолютные величины элементов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд образованный из абсолютных величин его элементов, расходится, то данный ряд называется условно сходящимся (не абсолютно).
Например - условно сходящийся.
Указанное разграничение абсолютной и условной сходимостей рядов является весьма существенным.
Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся этими свойствами не обладают.
Так абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством (при любой перемене мест элементов абсолютно сходящихся рядов он остается абсолютно сходящимся и с той же суммой). Это свойство отсутствует у условно сходящихся рядов. Оказывается, переставляя элементы такого ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится.
Пример
Рассмотрим ряд и переставим элементы ряда таким образом
Сложим каждый положительный элемент с идущим после него отрицательным: 
В результате получим ряд, элементы которого образованы произведениями элементов исходного ряда на величину 
. Но такой ряд по свойству 1 также сходится и его сумма равна суммы исходного ряда.
Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать
Определение
Под произведением двух сходящихзся рядов
(1)
(2)
Понимается следующий ряд
(3)
В каждой группе элементов этого ряда, объединенных скобками, сумма индексов сомножителей постоянна: в первой – 2; во второй – 3; …; в n – ой – (n+1)
Теорема (без доказательства)
Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся, то их произведение есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм рядов сомножителей
Функциональные ряды
Ряд, элементами которого являются функции, называется функциональным рядом.
Обозначение
(*), где 
- определены и непрерывны в одном и том же интервале.
Ряд (*) для одних значений х может сходиться, а для других расходиться.
Значение 
, при котором числовой ряд 
сходится, называется точкой сходимости ряда (*).
Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда, или говорят, что ряд сходится в данной области. Обласью сходимости обычно бывает какой-либо интервал оси ОХ.
Пример
Ряд 
сходится в интервале (-1;1), так как при |x|<1 – числовой ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
При 
- ряд расходится.
Сумма ряда является некоторой функцией от х, определенной в области сходимости ряда.
Обозначение
Для приведенного примера 
, для интервала (-1;1), то есть области сходимости ряда.
- n –ая частичная сумма;
остаток ряда.
Если ряд сходится, то 
Известно, что сумма кончного числа непрерывных функций – функция непрерывная, и интеграл от такой суммы непрерывных функций равен сумме интегралов от этих функций. Точно также производная от суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных.
Можно ли эти свойства перенести на функциональные ряды?
Покажем, что для произвольных функциональных рядов эти свойства могут оказаться несправедливыми.
Рассмотрим ряд 
При х=0 элементы ряда нули и S(0)=0.
При 
- ряд сходящаяся геометрическая прогрессия, так как 
и сумма ряда 
Таким образом, S(x) – разрывная функция. Она имеет разрыв в точке х=0, то есть S(x)=1, если и S(0)=0.
Чтобы установить, в каких же случаях на функциональные ряды можно перенести свойства конечных сумм, введем новое определение.
Определение
Функциональный ряд (*) называется правильно сходящимся в области D, принадлежащей области сходимости ряда, если в области D все его элементы по абсолютной величине не превосходят соответствующих элементов некоторого числового ряда с положительными элементами.
Это значит, что во всех точках области D должно выполняться неравенство 
, где 
- элемент сходящегося ряда 
Этот ряд называется мажорирующим (усиливающим) по отношению к ряду (*).
Пример
Ряд 
правильно сходится в любом интервале оси ОХ, так как 
, а ряд обратных квадратов сходящийся.
