Лекция 10. Вычисление длин дуг. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Вычисление объемов тел вращения. Несобственные интегралы.
Определение 1
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.
Определение 2
Кривая называется гладкой, если она непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке.
Кривая задана уравнением 
(1) f’(x) – непрерывна на отрезке [a,b].
Теорема Всякая гладкая кривая (1) имеет определенную конечную длину дуги.
Доказательство
Впишем в данную гладкую кривую (1) ломаную линию 
Проектируя звенья 
ломаной на ось ОХ, получим разбиение отрезка [a,b] на систему отрезков 
. Пусть 
- приращение функции y=f(x) на отрезке [a,b]. По теореме Пифагора имеем 
. Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим
, где 
- некоторая промежуточная точка отрезка . Отсюда
. Длина всей ломаной линии (то есть ее периметр) равна 
Для нахождения длины L кривой (1) в последнем выражении переходим к пределу при 
и 
. Таким образом 
Получаем предел интегральной суммы для непрерывной функции 
Поэтому 
или 
(2), где y’=f’(x)
Дифференциал дуги в прямоугольных координатах
Пусть точка A(a,h) – фиксирована, а точка M(x,y) – переменная. В таком случае длина дуги L=AM есть некоторая функция от х. Согласно (2) имеем Отсюда, используя теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом, получим 
и следовательно 
, таким образом 
- дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как 
, то 
(3). Это теорема Пифагора для бесконечно малого треугольника MTP.
Пример
Вычислить длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках. Уравнение линии 
(4), где а – параметр цепной линии, а>0. Или проще 
(4’) – гиперболический косинус.
b – абсцисса точки В; h – ордината точки В.
Дифференцируя уравнение (4’) получаем 
. Далее 
. Тогда
. Согласно формулы (2), имеем
Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Пусть L – длина дуги кривой 
, 
, 
- непрерывно дифференцируемые функции на заданном отрезке.
Формула (3) для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt; dy=y’dt. Имеем 
Интегрируя последнее выражение в пределах от 
до t=T получим длину дуги
(5)
Пример
Найти длину дуги окружности, заданной параметрическими уравнениями
от t=0 до t=T
Решение
Здесь dx=-asintdt; dy=acostdt. Поэтому 
и, следовательно
Пример
Найти длину дуги астроиды 
Запишем уравнение астроиды в следующем виде 
. Замена
. Получаем параметрические уравнения астроиды
(6). Кривая (6) симметрична, поэтому находим 
при изменении t от 0 до 
. Получаем 
. Отсюда
. Интегрирую в пределах от t=0 до 
, получим
Длина дуги в полярных координатах
Выведем сначала формулу для дифференциала dL дуги в полярных координатах на основании формулы (3)
, где x,y – прямоугольные декартовы координаты точки дуги.
Формулы перехода:
Отсюда 
, следовательно 
или 
(1), где 
Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой 
между точками 
и 
, где 
- полярные координаты.
|
Интегрируя равенство (1) в пределах от 
до 
получаем длину дуги в полярных координатах
, где и 
- производная
Пример
Вычислить полную длину дуги кардиоиды 
Решение
Имеем 
, тогда 
, отсюда 
