Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа

Логарифмическая производная

При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используют логарифмическую производную Делается это так:

Например,

 

Производные и дифференциалы высших порядков

Производная есть сама функция от поэтому можно взять от неё производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:

если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой в точке

Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:

если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.

Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:

Производные порядка являются линейными операциями, т.е.

Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.

Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точке то имеет место равенство

Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:

Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа

При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления предела

Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введём следующее понятие.

Определение 5. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности

точки Говорят, что функция имеет в точке асимптотическое разложение го порядка, если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде

Здесь Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближённо равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2. Пусть функция имеет в точке производные до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида

(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).

Если в (4) положить то получим формулу называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведём формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.

Теорема 3. Имеют место следующие разложения:

Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2).

Итак, пусть По теореме 1 имеем

Значит, в формуле

будут отсутствовать все чётные степени а слагаемые с нечётными степенями имеют вид Следовательно имеет место формула 2.

Замечание 1. В формуле 2 остаточный член можно записать в виде а в формуле 3–

в виде (почему?).

Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки Условия представления функции на некотором отрезке (где может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.

Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) существуют и непрерывны на отрезке ;

2) производная существует и конечна по-крайней мере на интервале

Тогда для всех функция представляется в виде

где точка находится между и

Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если в формуле (5) положить то получим равенство или, обозначая будем иметь

Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке а существует и конечна по-крайней мере на интервале Если,кроме того, выполняется условие то существует точка такая, что (теорема Ролля).