В однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.

Функция Лагранжа

.

Если учесть то из определения действия - целое кратное (, »6.63×10^-34 Дж×с – постоянная Планка, или квант действия).

; , если .

Получим закон сохранения энергии

Воспользуемся уравнениями движения в форме Гамильтона, чтобы получить закон сохранения энергии для простейшей замкнутой системы.

 

РИС. 2-17

 

 

Рассмотрим систему из 2-х частиц, способных двигаться только по направлению . Гамильтониан этой системы (все аргументы зависят от времени).

Чтобы доказать закон сохранения энергии, нужно убедиться в том, что полная энергия не зависит от времени.

Продифференцируем по времени:

.

Уравнения Гамильтона для этой системы:

.

Подставим:

, т. е. .

Вывод: Полная энергия сохраняется (не зависит от времени).

 

Финитное и инфинитное движение частицы

 

РИС. 2-18

 

 

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия, можно судить о характере движения частицы. Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, это - финитное движение, если двигается как угодно далеко - инфинитное. Пример финитного движения - потенциальная яма, или движение с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения.

До сих пор мы всегда относили движение к одной из бесчисленных ИСО, в которых уравнение движения может быть записано или в ньютоновой форме , или в гамильтоновой форме .

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти уравнения движения в любой инерциальной системе отсчета, т.е. найти законы преобразования ускорений и сил. При этом мы обязаны постулировать:

расстояния и промежутки времени инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся.

 

Это справедливо только для малых скоростей движения, когда скорости движения тел в системах и скорости относительного движения систем малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

 

II. Движение в неинерциальных системах отсчета

 

1. Система движется по отношению к системе поступательно с некоторой скоростью и некоторым ускорением .

РИС. 3-1

 

- радиус-вектор начала системы ,

- радиус-вектор точки в системе ,

- радиус-вектор точки в системе .

Очевидно, что в системе (которую считаем неподвижной)

, .

Если элементарное перемещение точки в системе есть , то это элементарное перемещение складывается из перемещения вместе с системой и перемещения в системе . Поделив на , получаем формулу преобразования скоростей:

,

, .

Продифференцировав закон преобразования скоростей по времени, получаем закон преобразования ускорений:

, .

Сразу видно, что, если , т. е. система - инерциальная, то .

(Вспомним определения ИСО!)

Умножим в последней формуле правую и левую части на массу частицы :

.

Здесь - равнодействующая всех сил, действующих на частицу в неподвижной системе отсчета, - некая добавочная сила, возникающая только из-за того, что система отсчета является неинерциальной (опять вспомним ИСО - если система отсчета будет двигаться без ускорения, т.е. , то и эта сила =0).

Это - сила инерции:

= - .

 

 

Основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета:

 

2. Система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе .

РИС. 3-2

 

 

1)Обе системы отсчета имеют общее начало . Радиус-вектор точки будет одним и тем же в обеих системах отсчета: .

 

2) Точка в системе неподвижна. Значит, движение этой точки в системе происходит только за счет вращения системы .

Перемещение:

Допустим теперь, что точка движется в системе со скоростью . Суммарное перемещение этой точки за время будет:

(Здесь первое слагаемое – перемещение за счет движения
точки , второе – за счет вращения системы ).

Поделив на и вспоминая, что , имеем:

– так изменяется скорость.

 

3) Приращение вектора скорости за время (измеряется в системе ):

- это просто полный дифференциал закона преобразования скоростей.

Приращение вектора скорости за тот же интервал времени в системе :

.

РИС. 3-3

 

 

В выражение для подставляем и :

Поделив на , находим закон преобразования ускорений:

Преобразуем двойное векторное произведение типа , пользуясь правилом «бац-цаб»:

 

, где учтено , - радиус-вектор, кратчайшим путем соединяющий точку с осью вращения, а также правило сложения векторов.

 

РИС. 3-4

 

Итак, , - осестремительное ускорение,

- кориол и сово (ударение на подчеркнутом «и») ускорение.

 

Если теперь предположить, что вся неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной с поступательным ускорением , то ускорение точки в инерциальной системе отсчета будет:

для ,

для .

Последнее выражение -

 

основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета , вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся с ускорением относительно инерциальной системы .

 

- инерциальная система, - неинерциальная.

Умножая данное уравнение слева и справа на и учитывая, что в инерциальной системе отсчета , имеем:

, или

,

где

- сила инерции, обусловленная поступательным ускорением системы отсчета ,

- центробежная сила, направлена по нормали! (Рис. 3-4)

- кориол и сова сила; направлена по тангенциальной составляющей!

и обусловлены вращением системы отсчета .

 

Силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета, а также от положения и скорости частицы в данной системе отсчета.

Проявление центробежной силы инерции – уменьшение ускорения свободного падения по мере удаления от полюсов и приближения к экватору, а вот размыв правых берегов рек в северном полушарии (закон Бэра) – пример тангенциональной силы.

РИС. 3-5

 

 

Обратите внимание: сила - нормальная к поверхности!

Радиус Земли - . Заменим его вместо r.

- на полюсах ,

на экваторе .

, где - ускорение свободного падения на полюсах, - широта местности.

Задача: поворот плоскости качания маятника Фуко за счет кориол и совой силы. Решение этой задачи французским ученым Фуко в 1852 г. доказало вращение Земли. При колебании маятника на полюсе плоскость его колебаний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью вращения Земли -15 градусов в час. В ИСО плоскость остается неизменной!

. Эта сила направлена вправо по ходу маятника и лежит в горизонтальной плоскости.

РИС. 3-6

 

Особенности сил инерции

1) Силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета и обусловлены не взаимодействием тел (как все прочие силы), а свойствами систем отсчета.

2) Силы инерции пропорциональны массе тела, подобно силам тяготения. Следовательно, движение тел в однородном поле сил инерции эквивалентно движению в однородном поле сил тяготения.

 

Отсюда - принцип эквивалентности Эйнштейна:

в однородном поле сил инерции все физические процессы происходят совершенно так же, как и в однородном поле сил тяготения.

 

Смысл таков. Допустим, мы не знаем, где находится лаборатория – в космическом пространстве, в невесомости, на Земле, или совершает поступательное движение с некоторым ускорением, или вращается с постоянной угловой скоростью относительно неподвижной оси. Мы замечаем только, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением. При этом мы не можем сделать вывод о природе этого явления - вызвано это полем тяготения, или ускоренным движением лаборатории, или обеими этими причинами.

 

Момент количества движения(момент импульса)

РИС. 3-7

 

 

- неподвижное начало отсчета (полюс), - радиус-вектор, - импульс.

 

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки называется вектор , .

 

Компоненты:

.

Рассмотрим теперь, каким образом и по какой причине момент количества движения (момента импульса) изменяется во времени.

Для этого продифференцируем по времени:

.

Первое слагаемое есть векторное произведение коллинеарных векторов (геометрический смысл: прямые проходящие в направлении векторов параллельны) () и поэтому равно нулю: .

Во втором слагаемом - сумма всех сил, действующих на частицу.

Отсюда , - момент сил, действующих на частицу,

 

- уравнение моментов.

Заметим, что, если система отсчета является неинерциальной, то момент сил включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции.

Из уравнения моментов сразу видно, что при и, следовательно, .

Важное свойство:

Если момент равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку, равен нулю относительно некоторой точки и в течение некоторого промежутка времени, то момент количества движения относительно той же точки остается постоянным в течение этого же промежутка времени.