III. Анализ и синтезявляются и методами исследования, и методами обучения (применяются при решении задач, доказательстве теорем, при формировании математических понятий).

Анализ – метод исследования (логический прием), состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.

Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.

В математике чаще всего под анализом понимают прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие; под синтезом понимают прием мышления, при котором мы от причины переходим к следствию, порожденному этой причиной.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи (идем от неизвестного);

б) когда целое расчленяется на части (анализ в форме расчленения).

Анализ в форме рассуждения от искомых к данным подразделяется на виды: восходящий; нисходящий; алгебраический метод.

Восходящий – исходным моментом решения задачи является ее заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедливости. Сущность метода восходящего анализа определяет следующее рассуждение: для того чтобы А было верным, достаточно, чтобы было верным В.

Восходящий анализ представляет интерес, так как он содержит в себе стратегию создания доказательств (решений). Однако имеет слабые стороны: для доказательства истинности того или иного утверждения может быть не одно основание, а несколько. Это приводит ученика к необходимости рассматривать несколько различных вариантов рассуждений, некоторые из которых могут поставить его в тупик.

Нисходящий анализ имеет две разновидности: несовершенный анализ и метод доказательства от противного.

При решении задач методом несовершенного анализа за исходное берется заключение задачи. Преобразования заключения происходят путем отыскания необходимых признаков справедливости его в предположении, что заключение задачи (теоремы) верно.

Методом “доказательства от противного” называется такая разновидность нисходящего анализа, при которой отыскание решения задачи на доказательство происходит путем получения необходимых условий справедливости положения, противоречащего заключению теоремы (задачи).

Алгебраический метод решения задачи – это такая форма аналитического метода, при котором связи между искомыми и данными устанавливаются с помощью составления уравнения или системы уравнений (реже неравенств).

Основной вопрос при аналитических рассуждениях:

Что нужно знать, чтобы найти?

Анализ в форме расчленения:

1) разбиваем условие задачи на отдельные части;

2) выделяем отдельные условия (остальные временно не учитываем);

3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу;

4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

Анализ в форме расчленения часто применяется при решении задач на построение методом подобия.

Суть синтетического решения состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получаются как следствие из первых и т.д. Составление вспомогательных суждений продолжается до тех пор, пока мы не получим такого суждения, из которого непосредственно вытекает то, что нужно вычислить.

Основной вопрос: Что можно найти, зная …?

Этот метод рассуждения применяется чаще всего при решении несложных задач.

К явным недостаткам синтетического метода решения задач можно отнести:

1) отсутствие рассуждений, на основании которых определяется план решения задачи;

2) отсутствие аргументации почему поступают так, а не иначе;

3) трудность выбора нужных исходных данных и тех следствий из них, которые ведут к цели.

IV. Термин “индукция” (лат.) – наведение, побуждение. В исследовании, в обучении математике употребляется в трех смыслах:

1) индукция – это один из видов умозаключения, при котором из двух или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение.

Z.B. единичные суждения:

а) окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;

б) эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;

в) гипербола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках.

Частные суждения: окружность, эллипс, парабола, гипербола – виды конических сечений. Новое общее суждение: все конические сечения могут пересекаться с прямой самое большое в двух точках (истинное суждение).

2) индукция – это метод исследования, при котором для изучения некоторого явления изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливают в них свойства, от которых зависит изучение данного явления или объекта.

Z.B. Рассмотрим последовательность, заданную формулой f(n) = n² – n + 41.

Пусть n = 1, f(1) = 41 опыт

n = 2, f(2) = 43 опыт

n = 3, f(3) = 47 опыт

–––––––––––––––––– наблюдение, вывод.

Последовательность n² – n + 41 является последовательностью простых чисел (ложное суждение, т.к. при n = 41 имеем составное число)

3) индукция – форма изложения материала в процессе изучения, когда от частных положений мы приходим к общим. Здесь индукция выступает в роли метода изучения.

Z.B. 1) вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии;

2) перед изучением теоремы о сумме углов треугольника выполнить практическую работу: построить треугольник, измерить его углы и найти их сумму. У каждого ученика треугольник свой, а ответ 180°. Значит каждый треугольник обладает таким свойством.

Различные формы проявления индукции зависят от характера деятельности, при которой она используется.

Различают два вида индуктивных умозаключений: неполная и полная индукция.

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию.

Z.B. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии. Не всегда выводы, основанные на неполной индукции являются верными.

Полная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных или частных случаев, относящихся к рассматриваемой ситуации.

Выводы, сделанные с использованием полной индукции являются верными.