Для спрощення обчислень другі співмножники у формулах називаються множниками нарощення простих відсотків: (1 + nі) – множник нарощення декурсивних відсотків; 1 / (1 – nd) – множник нарощення антисипативних відсотків.
Наприклад, позичка в розмірі 1 млн. грн. видається строком на 0,5 року під 30% річних. У випадку декурсивних відсотків нарощена сума (Sі) буде дорівнює 1,15 млн. грн. (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сума нарахованих відсотків (І) – 0,15 млн. грн. (1,15 – 1). Якщо ж нараховувати відсотки по антисипативному методу, то нарощена величина (Sd) складе 1,176 млн. грн. (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сума відсотків (D) 0,176 млн. грн.. Нарощення по антисипативному методу завжди відбувається більше швидкими темпами, чим при використанні процентної ставки. Тому банки використають цей метод для нарахування відсотків по видаваним ними позичкам у періоди високої інфляції. Однак у нього є істотний недолік: як видно з формули (4), при n = 1 / d, знаменник дробу звертається в нуль і вираження губить зміст.
Взагалі, нарахування відсотків з використанням ставки, призначеної для виконання прямо протилежної операції – дисконтування – має відтінок якоїсь «неприродності» і іноді породжує плутанину (аналогічну тієї, котра може виникнути в роздрібного торговця, якщо він переплутає правила визначення знижок і націнок на свої товари).
Антисипативним методом нарахування відсотків звичайно користуються в чисто технічних цілях, зокрема, для визначення суми, дисконтування якої по заданим дисконтній ставці й строку, дасть шуканий результат.
Як правило, процентні ставки встановлюються в річному вирахуванні, тому вони називаються річними. Особливістю простих відсотків є те, що частота процесів нарощення протягом року не впливає на результат. Тобто немає ніякої різниці з 30% річних 1 раз у рік або нарахувати 2 рази по 15% річні. Проста ставка 30% річних при одному нарахуванні в році називається еквівалентній простій ставці 15% річних при нарахуванні 1 раз у півроку. Дана властивість пояснюється тим, що процес нарощення по простій процентній ставці являє собою арифметичну прогресію з першим членом a1 = P і різницею d = (P * і).
P, P + (P * і), P + 2 * (P * і), P + 3 * (P * і),..., P + (k - 1) * (P * і)
Нарощена сума S є ніщо інше як останній k-й член цієї прогресії (S = ak = P + n * P * і), строк позички n дорівнює k – 1. Тому, якщо збільшити n і одночасно пропорційно зменшити й, те величина кожного члена прогресії, у тому числі й останнього, залишиться незмінної.
Однак тривалість позички (або іншої фінансової операції, пов'язаної з нарахуванням відсотків) n необов'язково повинна рівнятися року або цілому числу років. Навпроти, прості відсотки найчастіше використаються при короткострокових (тривалістю менш року) операціях. У цьому випадку виникає проблема визначення тривалості позички й тривалості року в днях. Якщо позначити тривалість року в днях буквою K (цей показник називається тимчасова база), а кількість днів користування позичкою t, то використане у формулах (3) і (4) позначення кількості повного років n можна буде виразити як t/K.
У різних випадках можуть застосовуватися різні способи підрахунку числа днів у році (угода по підрахунку днів). Рік може прийматися рівним 365 або 360 дням (12 повних місяців по 30 днів у кожному). Проблема збільшується наявністю високосного років. Наприклад, позначення ACT/360 (actual over 360) указує на те, що тривалість року приймається рівної 360 дням. Однак виникає питання, а як при цьому визначається тривалість позички? Наприклад, якщо кредит видається 10 березня зі строком повернення 17 червня цього ж року, як уважати його тривалість – за календарем або виходячи із припущення, що будь-який місяць дорівнює 30 дням? Безумовно, у кожному конкретному випадку може бути обраний свій оригінальний спосіб підрахунку числа днів, однак на практиці вироблені деякі загальні принципи, знання яких може допомогти зорієнтуватися в будь-якій конкретній ситуації.
Якщо тимчасова база (K) приймається рівної 365 (366) дням, то відсотки називаються точними. Якщо тимчасова база дорівнює 360 дням, то говорять про комерційні або звичайні відсотки. У свою чергу підрахунок тривалості позички може бути або наближеним, коли виходять із тривалості року в 360 днів, або точним - по календарі або по спеціальній таблиці номерів днів у році. Визначаючи наближену тривалість позички, спочатку підраховують число повних місяців і множать його на 30. Потім додають число днів у неповних місяцях. Загальним для всіх способів підрахунку є правило: день видачі й день повернення кредиту вважаються за 1 день (назвемо його граничний день). У наведеному вище умовному прикладі точна тривалість позички складе по календарі 99 днів (21 день у березні + 30 днів у квітні + 31 день у травні + 16 днів у червні + 1 граничний день). Той же результат буде отриманий, якщо використати таблицю номерів днів у році (10 березня має порядковий номер 69, а 17 червня – 168). Якщо ж використати наближений спосіб підрахунку, то тривалість позички складе 98 днів (21 + 2 * 30 + 16 + 1).
Найбільше часто зустрічаються наступні комбінації тимчасової бази й тривалості позички (цифри в дужках позначають відповідно величину t і K):
Точні відсотки з точним числом днів (365/365).
Звичайні (комерційні) відсотки з точною тривалістю позички (365/360).
Звичайні (комерційні) відсотки з наближеною тривалістю позички (360/360).
Розходження в способах підрахунку днів можуть здатися несуттєвими, однак при більших сумах операцій і високих процентних ставок вони досягають досить пристойних розмірів. Припустимо, що позичка в розмірі 10 млн. грн. видана 1 травня з поверненням 31 грудня цього року під 45% річних (проста процентна ставка). Визначимо нарощену суму цього кредиту по кожному із трьох способів. Табличне значення точної тривалості позички дорівнює 244 дня (365 - 121); наближена тривалість – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).
10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. грн.
10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. грн.
10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. грн.
Різниця між найбільшою й найменшою величинами (13,05 – 13,008) означає, що боржник буде змушений заплатити додатково 42 тис. грн. тільки за те, що погодився (або не звернув уваги) на застосування 2 способи нарахування відсотків.
Зворотним завданням стосовно нарахування відсотків є розрахунок сучасної вартості майбутніх грошових надходжень (платежів) або дисконтування. У ході дисконтування по відомій майбутній вартості S і заданим значенням процентної (облікової) ставки й тривалості операції перебуває первісна (сучасна, наведена або поточна) вартість P. Залежно від того, яка саме ставка – проста процентна або проста облікова – застосовується для дисконтування, розрізняють два його види: математичне дисконтування й банківський облік.
Метод банківського обліку одержав свою назву від однойменної фінансової операції, у ході якої комерційний банк викуповує у власника (ураховує) простий або перекладний вексель за ціною нижче номіналу до витікання зазначеного на цьому документі строку його погашення. Різниця між номіналом і викупною ціною утворить прибуток банку від цієї операції й складе дисконт (D). Для визначення розміру викупної ціни (а отже, і суми дисконту) застосовується дисконтирование по методу банківського обліку. При цьому використається проста дисконтна ставка d. Другий співмножник цього вираження (1 – (t / k) * d) називається дисконтним множником банківського обліку по простих відсотках. Як правило, при банківському обліку застосовуються звичайні відсотки з точною тривалістю позички (2 варіант). Наприклад, власник векселя номіналом 25 тис. грн. звернувся в банк із пропозицією врахувати його за 60 днів до настання строку погашення. Банк згодний виконати цю операцію по простій дисконтній ставці 35% річних. Викупна ціна векселя складе:
P = 25000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 23541,7 грн.,
а сума дисконту буде дорівнює
D = S – P = 25000 - 23541,7 = 1458,3 грн.
При математичному дисконтування використається проста процентна ставка й.
Вираження 1 / (1 + (t / k) * і) називається дисконтним множником математичного дисконтування по простих відсотках.
Цей метод застосовується у всіх іншим (крім банківського обліку) випадках, коли виникає необхідність визначити сучасну величину суми грошей, що буде отримана в майбутньому. Наприклад, покупець зобов'язується оплатити постачальникові вартість закуплених товарів через 90 днів у сумі 1 млн. грн. Рівень простої процентної ставки становить 30% річних (звичайні відсотки). Отже поточна вартість товарів буде дорівнювати:
P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. грн.
Застосувавши до цих умов метод банківського обліку, одержимо:
P = 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. грн.
Другий варіант виявляється більше вигідним для кредитора. Варто пам'ятати, що якихось твердих вимог вибору того або іншого методу виконання фінансових розрахунків не існує. Ніхто не може заборонити учасникам фінансової операції вибрати в даній ситуації метод математичного дисконтування або банківського обліку. Існує, мабуть, єдина закономірність – банки, тому, як правило, обирається метод, більше вигідний для кредитора (інвестора).
Основною областю застосування простих процентної й дисконтної ставок є короткострокові фінансові операції, тривалість яких менш 1 року. Обчислення із простими ставками не враховують можливість реінвестування нарахованих відсотків, тому що нарощення й дисконтування виробляються щодо незмінної вихідної суми P або S. На відміну від них складні відсотки ураховують можливість реінвестування відсотків, тому що в цьому випадку нарощення виробляється за формулою не арифметичної, а геометричної прогресії, першим членом якої є початкова сума P, а знаменник дорівнює (1 + і).
P, P * (1 + і), P * (1 + і)2, P * (1 + і)3,..., P * (1 + і) n,
де число років позички n менше числа членів прогресії k на 1 (n = k – 1).
