Обозначения
Множества (любой природы) обозначаются большими латинскими буквами 
а их элементы – малыми латинскими буквами 
Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания (например, 
{число 
делится на 3}). Везде ниже вводятся следующие обозначения:
“всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,
“существует”, “найдётся хотя бы один”,
“принадлежит”, 
“не принадлежит”,
“следует из”, “вытекает из”,
“эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”,
“входит в”, “содержится в”
или 
“по определению” (в тексте слово “если”)
логическое “ И ”, 
логическое “ ИЛИ ”,
объединение множеств 
и 
пересечение множеств и
разность множеств и 
дополнение 
(если 
высказывание, то отрицание высказывания 
).
Через 
обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно 
2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа 
Модуль числа 
определяется следующим образом: 
Свойства модуля:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
3. Понятие функции
Пусть даны два множества 
и 
Определение 1. Говорят, что на множеситве 
задана функция 
отображающая множество 
в множество 
если каждому элементу 
поставлен в соответствие единственный элемент 
по закону 
При этом 
называется аргументом функции 
а 
значением этой функции (при указаннном значении аргумента 
). Множество 
называется областью определения функции 
(обозначение: 
), а множество 
называется множеством значений этой функции.
Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента 
указывается соответствующий 
) и б ) аналитически (формулой; например 
). При аналитическом задании функции 
в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество 
={ 
выражение 
имеет смысл}. Например, 
Будет также использоваться обозначение 
для множества всех значений 
когда 
пробегает подмножество 
4. Предел функции
Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке 
Различают проколотую 
- окрестность 
точки 
которая определяется как симметричный интервал 
с выброшенной точкой 
и просто 
- окрестность 
точки 
совпадающую с указанным интервалом:
Пусть функция 
определена в некоторой проколотой окрестности 
точки 
(в самой точке 
функция можеть быть определена или нет; её значение в точке 
не существенно).
Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции 
в точке 
(или при 
если для произвольного числа 
найдётся число 
(зависящее, вообще говоря, от 
такое, что для всех значений 
, удовлетворяющих неравенству 
будет иметь место неравенство 
При этом пишут 
и читают: “ предел функции 
при 
равен 
”.
Это определение записывают кратко так:
Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции 
в точке 
(
стремится к 
но 
так как 
Это означает, что предел 
не зависит от того, каким является значение функции 
в точке 
Например, функции
имеют один и тот же предел 
в точке 
Геометрически высказывание (1) означает, что для любого 
существует число 
такое, что кривая 
при всех 
лежит внутри полосы 
Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала 
(или, что то же самое, для произвольного 
то число 
будет пределом функции 
при 
. Если же существует интервал 
такой, что в любой проколотой окрестности 
точки 
найдётся абсцисса 
для которой 
то 
Геометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.
Теорема 1. Если существует (конечный) предел 
, то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при 
, т.е.
существуют постоянные 
такие, что для всех 
из проколотой окрестности 
точки 
имеет место неравенство 
Замечание 1. Если функция 
удовлетворяет условию, записанному в рамке,то её называют функцией класса 
и пишут 
Функции класса 
обладают следующими очевидными свойствами.
Теорема 2. Если 
и 
то
5. Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция 
называется бесконечно малой функцией в точке 
или функцией класса 
, если 
При этом пишут 
Таким образом,
Например, функция 
а функции 
не являются функциями класса 
Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса 
Если 
то 
т.е. 
Доказательство. Свойство 
очевидно. Докажем свойство 
(другие свойства доказываются аналогично). Пусть 
и 
Тогда для произвольного 
существуют числа 
такие, что
Выберем 
Тогда 
будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что
Это и означает, что 
т.е. верно свойство 
. Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при 
Теорема 4. Если существует (конечный) предел 
то 
Обратно: если функция 
представляется в виде 
то 
имеет предел в точке 
и 
Доказательство. Существование предела 
эквивалентно высказыванию
Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция 
т. е. что 
Теорема доказана.
Замечание 2. Равенство 
называют асимптотическим разложением функции 
имеющей предел в точке 
И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.
Определение 4. Множества
называются окрестностями точек 
соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции 
в бесконечности:
Перейдём теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.
Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы 
то и существуют пределы 
при этом
Если (кроме существования пределов 
и 
) выполняется ещё условие 
то существует предел 
причём
Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы 
то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения 
Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь 
Поскольку 
то 
(см. теорему 3). Далее, поскольку 
то функция 
представляется в виде 
По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения 
при 
и он равен
Теорема доказана.
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых 
Введём следующее понятие. Пусть 
конечная или бесконечная точка и пусть функ-
ции 
и 
определены в некоторой проколотой окрестности точки 
Определение 5. Две бесконечно малые функции и (при 
) называются
эквивалентными, если 
в некоторой проколотой окрестности 
и если
При этом пишут: 
Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.
Теорема 6. Если 
и если существует предел 
то существует и предел 
и он также равен числу 
Доказательство. Переходя в тождестве 
к пределу при 
и учитывая, что 
получаем утверждение теоремы.
Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Таблица 1.
Если 
при 
то при 
верны следующие соотношения:
const.
можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
Пример 1.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Пусть функция 
определена в некоторой проколотой окрестности 
точки 
Определение 6. Функция 
называется бесконечно большой функцией (ББФ) при 
если для всякого 
существует число 
такое, что
При этом пишут 
Заметим, что 
– это не число, а символ, поэтому бесконечный предел – это всего лишь обозначение бесконечно большой функции. Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределу как к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют свои правила действий, несколько отличные от правил действий над конечными пределами (см. ниже таблицу 2).
Если функция 
сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности точки 
и является при этом бесконечно большой функцией, то естественно писать
(в зависимости от знака функции 
в указанной окрестности). Более точно:
В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность
конечной предельной точки 
Почти дословно определяются бесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае под точкой 
следует понимать один из символов: 
а под окрестностью 
окрестность соответствующей бесконечно удалённой точки 
Например,
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть функция 
не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности 
точки 
Тогда справедливо высказывание
Иначе говоря, для того чтобы функция 
была бесконечно малой при 
необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функция 
была бесконечно большой при 
Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:
Таблица 2
И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.
Теорема 8 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности 
точки 
выполняются неравенства 
и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точке 
и эти пределы равны друг другу, т.е.
Тогда существует предел промежуточной функции и он равен 
т. е. 
Теорема 9. Пусть в некоторой окрестности 
точки 
выполняются неравенства 
и пусть существуют пределы
Тогда 
(докажите это утверждение самостоятельно).
Теорема 10 (о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности 
функция 
неотрицательна (неположительна) и существует предел 
то 
(соответственно 
).
В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при 
приводит к одному из символов типа
возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределённость при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределённость может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределённости. Поясним сказанное примером.
Пусть требуется вычислить предел 
Если в указанном отношении мы сразу же перейдём к пределу, то получим неопределённость типа 
Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попрубуем избавиться от неопределённости. Применим для этого таблицу 1 и теорему 5. Получим
