Простые и взвешенные скользящие средние и их применение

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Простые скользящие средние. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм, сглаживания по простой скользящей средней можно представить в виде следующей последовательности шагов.

1. Определить длину интервала сглаживания , включающего в себя последовательных уровней ряда . При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания и тенденции развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Исходный временной ряд следует разбить на участки, каждый из которых содержит уровней. Последующий участок сдвигается по отношению к предыдущему на один такт времени, т.е. интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным 1.

3. На заключительном этапе центральное значение на каждом участке заменяется на значение средней арифметической из уровней ряда, образующих этот участок.

Замечание. Удобно брать длину интервала сглаживания в виде нечетного числа: , так как в этом случаи полученные значения скользящей средней приходятся на средний уровень интервала.

Наблюдения. которые берутся для расчета среднего значения называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении все уровни активного участка могут быть записаны в виде

где - центральный уровень активного участка.

Тогда скользящая средняя может быть определена по формуле:

. (10.4)

– значение скользящей средней в момент t,

2p+1 – длина интервала сглаживания.

При реализации простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (по полиному первого порядка). Таким образом, осуществляется, аппроксимация неслучайной составляющей с помощью линейной функции времени: .

Рассмотрим активный участок с длиной интервала сглаживания . Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. будем рассматривать моменты времени:

.

Неизвестные коэффициенты линейной модели подбираются таким образом, чтобы минимизировать критерий метода МНК:

Находим частные производные по и и приравниваем их к нулю:

Получаем систему нормальных уравнений.

Так как за счет выполнения переноса начала координат

то сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом из первого порядка уравнения систем

Таким образом, в качестве сглаженного значения в центральной точке активного участка следует брать средние арифметическое из уровней ряда образующих этот участок. Полученный вывод является обоснованием ранее рассмотренного алгоритма сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний на практике часто используются скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, при этом не будет выполняться условие нечетности. при четном числе уровней выражение (10.4) будет заменено выражением (10.5):

(10.5)

тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динами можно использовать четырехчленную (10.6) и двенадцатичленную (10.7) скользящую среднюю:

, (10.6)

. (10.7)

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую.

Взвешенные скользящие средние.

Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследования желательно сохранит волны, то целесообразно использовать взвешенную скользящую среднюю.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное определяемое по формуле средней арифметической взвешенной

. (10.8)

где - весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами , а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня от уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании, по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высокого порядка, чаще второго или третьего. Поэтому метод простой скользящей средней может, рассматриваться, как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Весовые коэффициенты определяются методом наименьших квадратов. (они будут одинаковы для каждого активного участка). При использовании скользящей средней с длиной активного участка первые и последние p уровни ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек существенный недостаток, так как для исследователя «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Часто на практике для восстановления краевых значений применяется следующий способ.

Пример 10.2. Пусть длина интервала сглаживания , а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Требуется определить весовые коэффициенты для расчета взвешенной скользящей средней.

Решение:

Перенесем начало координат в середину активного участка, т.е. будем рассматривать моменты времени:

.

Неизвестные коэффициенты полиномы второй степени оцениваем с помощью МНК, т.е. находим коэффициенты минимизирующие функционал:

Найдя частные производные, приравниваем их к нулю:

Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала

где k – нечетное число, получаем упрощенную систему нормальных уравнений

Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом . Из первого и третьего уравнений системы можно определить выражение для коэффициента :

или в символической записи

.

Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного участка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок. При этом следует учитывать важное свойство весовых коэффициентов: их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания подбирается полином порядка m, то согласно МНК необходимо минимизировать функционал

При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени будут неизменными при использовании полиномов степени

В таблице 10.8 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиномам второго или третьего порядка).

Таблица 10.8

Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней

Длина интервала сглаживания	Весовые коэффициенты

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.