Раздел 12
I. Объемное напряженное состояние
1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке
На рис. 11.3 показаны компоненты полного напряжения 
на наклонной площадке 
. Очевидно, что его численное значение определяется так
Подставляя сюда формулы (11.4) найдем
(12.1)
Здесь 
и 
– направляющие конусы нормали 
к площадке . Полное напряжение можно разложить на 
нормальное и 
касательное напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что 
. Напряжение 
можно найти, проектируя 
и 
на нормаль , т.е. 
. С учетом формул (11.4) получим
(12.2)
Касательное напряжение 
можно найти так
(12.3)
2. Главные напряжения, главные площадки
На наклонной площадке, у которой орт нормали совпадает с направлением , величина 
, а будет экстремально и равно . Такая площадка называется главной (ее направление определяют направляющие косинусы, которые обозначим 
). А напряжения на ней обозначим 
. Все его проекции на оси 
будут 
. Подставим их в формулы (11.4)
или 
(1)
Надо найти 
и при известных напряжениях в точке тела 
.
Очевидно, что 
.
Из этого следует, что одновременно не могут быть равны нулю. Тогда система уравнений (1) имеет решение, если ее определитель 
, т.е.
(3)
Раскрывая этот определитель получим, с учетом закона парности касательных напряжений:
(4)
(5)
После перемножений и приведения подобных членов найдем
(12.4)
Где: 
(12.5)
Величины 
и 
называются инвариантами тензора напряжений 
(легко убедится, что есть определитель ). При повороте осей компоненты меняются, но и при этом не должны меняться, т.к. , определяемые из (12.4), не зависят от выбора положения осей , а зависят от нагружения тела.
Решение кубического уравнения (12.4) дает три корня для 
, которые и называются главными напряжениями. Итак, имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых 
. Например, найдем 
главной площадки, где действует 
. Для этого составим три уравнения: 
и любых два уравнения из системы (1), подставляя в них 
. Решая эти три уравнения, найдем . Аналогично определяются две другие площадки, где действуют 
и 
. Можно показать, что главные площадки взаимно ортогональны.
Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (12.5) так:
Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.
3. Экстремальные касательные напряжения
Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых площадках действуют только 
и (см. рис. 11.3). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .
Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (12.1) и (12.2), полагая в них: 
, 
, т.к. на главных площадках касательных напряжений нет
(6)
Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (12.3), подстановкой (6)
После преобразований, получим
(7)
Условие экстремальности по параметрам 
и 
дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :
Третьему решению соответствуют рис.а, т.е. это площадка под углами 45° к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя  и  в выражение (7), получим
| 
Рис.а
|
Окончательно
(8)
Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2), можно найти экстремальные 
и 
.
Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:
(12.6)
4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения
Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их 
, т.к. должно быть .
Нормальное напряжение и касательное 
на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (6) и (7) подстановкой
(12.7)
Рис.в
| Величину называют часто гидростатическим давлением.
С т. О на рис. В обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные площадки с  и показаны три площадки с экстремальными касательными напряжениями  и  .
Легко показать, что
 ,
следовательно, и тоже
|
являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.
II. Плоское напряженное состояние
а) Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонных площадках
 |
Рис. 12.1
, т.е.
(9)
Получим ПНС в осях 
, показанное на рис. 12.1.
действует полное напряжение 
и 
, т.е. на 
и 
;
(10)
(11)
(12.7)
.
(13)
, получим формулы (12.7). Нормальное напряжение 
, найдем
(12.8)
, окончательно получим
(12.9)
и 
, на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями 
. Подставляя это в формулы (12.7) получим
(14)
, поэтому уравнения (14) имеют решение, если его определитель 
(15)
инварианты ПНС.
(12.10)
, которые нормали к главным площадкам составляют с осью 
и 
в (12.9) получим
(12.11)
, которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. 
и 
откладывать от оси 
в формулу (12.8), большая величина 
, а меньшая 
. Эти величины 
Рис.с
. Напряжения 
.
(16)
(12.12)
(12.13)
на этих площадках найдем по первой формуле (16), подставляя 
)
(17)
.
.
найдем по (12.12), а нормальные напряжения 
на этих площадках по (17). Итак
Рис. d
(рис. d). Используя формулы (12.8) и (12.9), подставляя в них: 
, 
. Получим
(12.14)
, а это как известно, характеристики главной площадки.
(при 
)
Тензор деформации 
представим в симметричном виде (см. рис), когда 
и т.д. Анализ деформиро-ванного состояния проведем по аналогии с
.
(12.15)
инварианты деформированного состояния:
(12.16)
.
по аналогии с ПНС, формулы (12.10), получим 
и 
(12.17)
(12.18)
: Рассмотрим кубик, у которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем 
. После деформации его объем станет 
. Относительное изменение объема обозначим 
(12.19)
(12.20)
