Матричное уравнение состояния ЭЭС - система уравнений, описывающая режим работы ЭЭС.
Виды матричных уравнений состояния:
1. Обобщенное уравнение состояния.
2. Уравнение узловых напряжений.
3. Уравнение контурных токов.
Обобщенное уравнение состояния получается за счет объединения уравнений состояния, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
– обобщенное уравнение.
Матричная форма представления уравнения узловых напряжений
Ток ветвей из 1-ого закона Ома
Из 1-ого закона Кирхгофа
;
Обозначим 
- матрица узловых проводимостей.
Физический смысл матрицы узловых проводимостей следующий: на главной диагонали расположены элементы 
- сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узел k. Прочие элементы 
– взаимные проводимости ветвей между I и j, взятые с противоположным знаком.
Этапы расчета по методу узловых напряжений.
1. Определяются значения узловых напряжений
2. Определяются падения напряжений в ветвях
3. Определяются токи ветвей из закона Ома
4. Рассчитываются остальные параметры режима.
Матричная форма представления уравнений контурных токов
Ток ветвей из 2-ого закона Кирхгофа
Обозначим 
– матрица контурных токов.
- матрица контурных сопротивлений.
Физический смысл матрицы контурных токов следующий: на главной диагонали расположены элементы 
– сумма сопротивлении контура k. Прочие элементы 
- сумма сопротивлений, смежных контуром I и j.
При наличии задающих токов в схеме равнения контурных токов имеют вид
,
- матрица распределений задающих токов в ветвях.
Для получения необходимо из исходного графа сделать дерево, убрав из каждого контура по одной ветви. В результате матрица M станет квадратной.
.
Матрица 
имеет (b-k) строк, где b-число ветвей, k-число вычеркнутых ветвей.
Матрица получается из матрицы возвращением соответствующих вычеркнутых строк на их место. Элементы этих строк равны нулю.
Практическое задание:
Рассчитать установившийся режим работы СЭС. Исходные данные приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Исходные данные
| Вариант | Рисунок | Параметры ЛЭП, погонное сопротивление, Ом/км | ||
| 1,2,3 | 4,5 | 6,7 | ||
| 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | ||
| 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | ||
| 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | ||
| 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | ||
| 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | ||
| 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | ||
| 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | ||
| 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | ||
| 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 | 0,075+j0,420 | ||
| 0,075+j0,420 | 0,098+j0,429 | 0,121+j0,435 |
Продолжение таблицы 3.1
| Вариант | Параметры ЛЭП, длина, км | Задающие мощности нагрузок узлов, МВА | ||||||||||
| 70+j30 | 75+j40 | 110+j30 | 100+j40 | 80+j50 | ||||||||
| 80+j50 | 100+j40 | 75+j40 | 75+j40 | 120+j50 | ||||||||
| 120+j50 | 80+j50 | 75+j35 | 80+j50 | 100+j40 | ||||||||
| 100+j40 | 70+j30 | 100+j40 | 110+j30 | 75+j40 | ||||||||
| 75+j40 | 120+j50 | 80+j50 | 75+j40 | 75+j35 | ||||||||
| 110+j30 | 75+j35 | 70+j30 | 100+j40 | 80+j50 | ||||||||
| 80+j50 | 75+j40 | 120+j50 | 80+j50 | 110+j30 | ||||||||
| 75+j35 | 100+j40 | 75+j40 | 70+j30 | 120+j50 | ||||||||
| 120+j50 | 80+j50 | 100+j40 | 120+j50 | 100+j40 | ||||||||
| 75+j40 | 110+j30 | 80+j50 | 75+j35 | 70+j30 |
Варианты исходных схем
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Расчётная работа 4.
Расчет устойчивости СЭС
Цель работы:
- изучить методы определения устойчивости СЭС;
- изучить критерии устойчивости методов;
Основные теоретические положения:
Методы исследования статической устойчивости электроэнергетических систем.
Постановка задачи расчетов:
Задача исследования устойчивости ЭЭС требует наличия методов, которые давали бы возможность по доступным, легко полученным признакам, устанавливать устойчивость системы.
Критерий устойчивости- необходимое и/ или достаточное условие (группа условий), при выполнении которых система является устойчивой.
Основной критерий устойчивости состояния системы
Характеристическое уравнение имеет вид
Равенство нулю характеристического уравнения возможно, только если все его корни имеют отрицательные вещественные части.
Для того, чтобы состояние равновесия было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой комплексной полуплоскости.
Характеристическое уравнение, как правило, имеет несколько действительных и несколько комплексно-сопряженных корней. При простых корнях общее решение системы имеет вид
, c= const, 
; 
Алгебраический критерий устойчивости.
Содержит группу условий - неравенств, при соблюдении которых система устойчива.
Для проведения алгебраического анализа необходимы коэффициенты характеристического уравнения.
1. Если все коэффициенты 
положительны, состояние системы устойчиво.
2. Если при изменении параметров системы хотя бы один из коэффициентов меняет знак, система неустойчива.
3. Необходимые условия устойчивости представляют собой различные соотношения.
Критерий Гурвица
Устанавливает соотношения в форме неравенств, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости системы.
Матрица Гурвица
Все коэффициенты с индексом i<0 или i>n обозначаются нулями.
Для соблюдения устойчивости требуется, чтоб все n диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны.
… 
Критерий Гурвица используется для определения устойчивости систем 3-4-го порядков.
Критерий Рауса
Используется для систем порядка выше 4, когда параметры заданы числами.
Из коэффициентов характеристического уравнения составляется таблица Рауса с количеством строк n+1.
Элементы 1-й строки- коэффициенты с четными индексами.
Элементы 2-й строки- коэффициенты с нечетными индексами.
Элементы следующих строк находятся по формуле
; I ≥ 3, k- номер столбца, i-номер строки.
Необходимое и достаточное условие устойчивости:
Все коэффициенты первого столбца должны быть положительны
, 
, 
… 
Число перемен знаков в 1-м столбце таблицы Рауса равно числу корней характеристического уравнения.
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
Если числа в 1-м столбце отличны от нуля, таблица называется регулярной. В регулярном случае характеристическое уравнение не имеет чисто мнимых корней.
Если в 1-м столбце есть нулевой элемент, таблица называется нерегулярной. В этом случае для построения таблицы строку, в которой элементы 
, заменяют следующей строкой
Критерий Михайлова
Принцип аргумента:
Разность между числом нулей и числом полюсов функции F(p) внутри контура С равен числу оборотов, которое делает вектор в плоскости W(jω), идущий из O в F(p), когда точка p описывает контур С.
Критерий Михайлова:
Для отсутствия корней с положительной действительной частью характеристического уравнения (т.е. для обеспечении устойчивости), необходимо и достаточно, чтобы при прохождении точкой p мнимой оси в положительном направлении приращение аргумента D(p) было равно n.П.
Характеристическое уравнение представим в виде
Для определения устойчивости по Михайлову необходимо определить приращение аргумента 
при перемещении вектора p только по мнимой оси. Представим уравнение в виде
, где 
- корни характеристического уравнения.
- так же векторы на комплексной плоскости, модуль и аргумент которых зависит от p.
Вектор 
называется характеристическим вектором.
Характеристический вектор, изображенный в декартовых координатах U и V при изменении 
от -∞ до +∞ описывает своим концом кривую, называемую характеристической кривой или годографом характеристического уравнения.
Система устойчива, если 
; 
Система неустойчива, если 
;
Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно:
1. 
2. 
3. Все корни уравнений 
и 
- действительные и перемежающиеся, т.е. между двумя соседними корнями уравнения лежит корень
Критерий Найквиста
Для анализа устойчивости системы, ряд звеньев которой задан лишь амплитудно-фазовыми характеристиками, применяют критерий Найквиста.
Критерий Найквиста основан на применении принципа аргумента к вектору - годографу комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы.
Он позволяет по АФХ разомкнутой системы определить устойчивость соответствующей замкнутой системы.
Необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы:
1. Для устойчивой разомкнутой системы 
2. Для неустойчивой разомкнутой системы 
Возможная формула АФХ разомкнутой системы определяются рядом условий:
1. Если многочлен Q(p)и R(p) имеют положительные свободные члены 
, т.е. АФХ начинается на положительной полуоси (рис. а, б, в, д, е)
2. Если многочлен Q(p)имеет нулевой корень, т.е. разомкнутся система находится на границе апериодической устойчивости (нейтральна), 
, и АФХ при ω→0 уходит в бесконечность в сторону –j (рис 2.)
3. Если Q(p)имеет пару чисто мнимых корней. т.е. разомкнутая система находится на границе периодической устойчивости(нейтральна) 
, и АФХ имеет разрыв в точке p=jωo. (рис. д.)
4. Если степень R(p) меньше, чем Q(p), 
(рис. А - д).
Если степени R(p)и Q(p)равны, 
(рис. е)
Вектор 1+ 
имеет начало b т.е. (-1;0) и конец b точке - конец вектора . Если , то АФХ разомкнутой системы не охватывает точку С. Если 
, то АФХ охватывает т. С 
раз.
Геометрическая формулировка критерия Найквиста:
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы:
1. АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы не охватывала точкуС(-1;0)
2. АФХ неустойчивой разомкнутой системы охватывала точку С(-1;0) раз.В положительном направлении
Если многочлен Q(jω) имеет высокую степень, то для построения АФХ разомкнутой системы требуется большие вычисления. В этом случае удобнее использовать инверсную амплитудно-фазовую характеристику
.
Критерии Найквиста для ИАФХ:
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ИАФХ устойчивой разомкнутой системы охватывала точку С (-1;0)
D‑разбиение по двум параметрам.
Будем рассматривать наиболее распространенный случай, когда два параметра входят в характеристический многочлен линейно (т. е. ни в одном из коэффициентов многочлена нет ни произведения, ни высших степеней П). Характеристическое уравнение системы
D(р) = D0(p) + П1D1(р) + П2D2(р) = 0.
Найдем значения П1 и П2, при которых характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней р1,2 =± jωi.
D(jω) = D0(jω) + П1D1(jω) + П2D2(jω) = 0
Уравнение распадается на два:
П2U2(ω) + П1U1(ω) = – U0(ω);
П2V2(ω) + П1V1(ω) = – V0(ω)
Решим систему с помощью правила Крамера:
; 
; 
.
; 
.
Кривые П1(ω), П2(ω) – четные функции, т.е. П(–ω) = П(ω). Определители Δ(ω), Δ1(ω), Δ2(ω) – нечетные функции. При изменении ω от –∞ до 0 получим кривую D‑разбиения на плоскости параметров П1 и П2. При изменении ω от 0 до +∞ получим ту же кривую, т.к. функции П(ω) – четные.
Особые прямые.
При изменении ω главный определитель Δ может менять знак. Прохождение значения Δ через нуль соответствует двум случаям:
1) при Δ = 0 значения Δ1 и Δ2 конечны и не равны нулю. Тогда П1 и П2 обращаются в бесконечность.
2) при Δ = 0 значение Δ1= Δ2 = 0. Тогда П1 и П2 становятся неопределенными. Равенство нулю определителей при фиксированном значении ωi означает, что все коэффициенты двух уравнений пропорциональны:
Тогда вместо двух уравнений можно записать одно:
П2U2(ωi) + П1U1(ωi) = – U0(ωi).
Это соотношение определяет в плоскости П2, П1 для некоторого фиксированного значения ω = ωi положение линии, называемой особой прямой. Чтобы найти особые прямые, надо определить все значения ωi, при которых одновременно Δ = Δ1= Δ2 = 0.
Для получения особых прямых нужно:
1) Приравнять а0 = 0, если оно зависит от П1, П2, и получить уравнение особой прямой, соответствующей ω = ∞;
2) Приравнять ап = 0, если оно зависит от П1, П2, и получить уравнение особой прямой, соответствующей ω = 0;
3) Найти все отличные от нуля значения ω, при которых Δ = Δ1= Δ2 = 0. Подставив эти значения ω в уравнение, получим уравнения соответствующих особых прямых.
Штриховка границ D-разбиения.
Кривая D-разбиения и особые прямые разбивают плоскость П2, П1 на области с различным числом т корней в правой полуплоскости корней. Чтобы разметить разные области D(m) соответствующим индексом т, применяется правило штриховки.
Пусть изображающая точка М перемещается по плоскости П2, П1. До тех пор пока она перемещается внутри области D(m), и не попадает на кривую D-разбиения, число корней т в правой полуплоскости остается постоянным. Как только точка М попадает на кривую D-разбиения, на мнимую ось плоскости р выйдет пара корне й. При пересечении кривой D-разбиения эта пара корней перейдет из одной полуплоскости в другую. Чтобы выяснить направление перехода корней (из левой полуплоскости корней в правую или наоборот), применяется правило штриховки.
Сравним движение по мнимой оси плоскости корней с направлением движения по кривой D‑разбиения. Если в плоскости корней перемещаться по мнимой оси из – ∞ в + ∞, то область, где должны располагаться корни для того, чтобы система была устойчива, будет всегда слева. Заштрихуем слева мнимую ось jω. Перемещаясь вдоль границы D-разбиения из точки, соответствующей ω = –∞, к точке, соответствующей ω = +∞, заштрихуем кривую также слева в том случае, если Δ > 0. Изменение знака определителя меняет направление штриховки.
Правило штриховки: при обходе в сторону возрастающих ω (от –∞ до +∞) кривая D‑разбиения штрихуется слева, если главный определитель Δ > 0, и справа, если Δ < 0. Так как при изменении знака ω и Δ меняет свой знак, то при двукратном обходе кривой она оказывается два раза заштрихованной с одной и той же стороны.
Направление штриховки особых прямых увязывается с направлением штриховки границы D‑разбиения в точке, для которой построена особая прямая.
При изменении знака Δ двойная штриховка границы D-разбиения меняет направление. Если Δ(ωi) = Δ1(ωi) = Δ2(ωi) = 0 при ωi ≠ 0, то в точке, в кот орой проходит особая прямая, меняется двойная штриховка границы D-разбиения. Особая прямая также штрихуется дважды таким образом, чтобы заштрихованные стороны прямой и границы кривой D-разбиения были направлены друг к другу.
Если Δ(ωi) = 0 при ωi = 0 или при ωi = ∞, то особая прямая штрихуется одинарной штриховкой так, что вблизи этой точки прямая и кривая должны быть по одну сторону обращены друг к другу заштрихованными сторонами, а по другую от этой точки – незаштрихованными сторонами. Далее вдоль прямой направление штриховки не меняется независимо от того, пересекает прямая где-либо еще кривую или иные особые прямые. Если кривая и особая прямая (при ω = ∞) не пере секаются, то последнюю нужно заштриховать вблизи ω = ∞ так, чтобы прямая и кривая были направлены друг к другу только заштрихованными или только незаштрихованными сторонами.
Выделение области устойчивости.
Переход через границу D-разбиения в точке ±ωi в сторону штриховки соответствует переходу двух сопряженных корней pi,i+1 = ±jωi через мнимую ось комплексной плоскости корней в левую полуплоскость. Следовательно, если вне границы D-разбиения расположена область D(т), то внутри границы находится область D(т–2). Область с меньшим числом т является претендентом на область устойчивости. Чтобы проверить, является ли она областью устойчивости, т. е. областью D(0), можно воспользоваться критерием Рауса для любых параметров П1 и П2 этой области. Вычислив число корней т и зная при этом штриховку границы D-разбиения, можно определить, является ли эта область действительно областью устойчивости. Если это не область D(0), то, следовательно, при заданных параметрах системы нет области устойчивости, т. е. нет таких значений П1 и П2, которые могут обеспечить устойчивость системы. Если это область D(0), то граница области устойчивости определяет возможные пределы изменения параметров П1 и П2 и характер нарушения устойчивости при определенных их значениях. При переходе коэффициентов П1, П2 через точку границы области устойчивости с частотой ωi происходит периодическое нарушение устойчивости с этой же частотой ωi, имеющее характер самораскачивания системы.
Практическое задание:
Проанализировать статическую устойчивость электроэнергетической системы станция – шины бесконечной мощности при отсутствии нагрузки в узлах системы и подключения к узлу 4 синхронного неявнополюсного генератора с номинальным напряжением 10,5кВ, номинальной мощностью 7,5 МВА.
Характеристическое уравнение при учете демпфирующих моментов в обмотке возбуждения генератора имеет вид
,
где 
;
;
;
;
;
Eq – синхронная ЭДС генератора, о.е., Eq =1,07;
Uc – напряжение системы, о.е., Uc = 1;
Tj – постоянная инерции генератора, рад;
Tdo – постоянная времени обмотки возбуждения, рад;
δ0 – угол между Eq и Uc, рад;
Xd – синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси, о.е.;
Xc – эквивалентное сопротивление системы, о.е.;
X’d – переходное индуктивное сопротивление генератора, о.е.
Таблица 1 – Исходные параметры
| Вариант | Xd, о.е. | X’d, о.е. | δ0, рад. |
| 2,00 | 0,155 | 1,50 | |
| 1,95 | 0,160 | 1,40 | |
| 1,90 | 0,165 | 1,30 | |
| 1,85 | 0,170 | 1,20 | |
| 1,80 | 0,175 | 1,10 | |
| 1,75 | 0,180 | 1,00 | |
| 1,70 | 0,185 | 0,90 | |
| 1,65 | 0,190 | 0,80 | |
| 1,60 | 0,195 | 0,70 | |
| 1,55 | 0,200 | 0,60 |
Указание: произвести D-разбиение по двум неизвестным параметрам, устойчивость системы определить в четырех разных точках полученной плоскости разными критериями: критерием Гурвица, критерием Рауса, критерием Михайлова, критерием Найквиста.
