Задачи для самостоятельного решения. 1)Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы

1) Найти интервалы возрастания, убывания функции и экстремумы

а) ; б) ; в) .

2) Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:

а) ; б) ; в) .

3) Найти асимптоты графика функции:

а) ; б) ; в) .

Ответы

1) а) Функция возрастает при , убывает при ; — точка минимума.

б) Функция возрастает при , убывает при ; — точка минимума; — точка разрыва.

в) Функция возрастает при , убывает при ; — точка максимума, — точка минимума.

2) а) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точка перегиба.

б) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точки перегиба.

в) График функции выпуклый при , вогнутый при ; — точка перегиба.

3) а) ; б) ; в) .

Занятие №12

Общая схема исследования функций и построения их графиков

Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующему плану:

1) Найти область определения функции; указать точки разрыва;

2) Определить чётность (нечётность), периодичность функции;

3) Найти интервалы возрастания (убывания) функции и её экстремумы;

4) Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции;

5) Найти асимптоты графика функции;

6) Найти точки пересечения графика с осями координат;

7) Построить график по результатам этого исследования.

Примеры

I. Исследовать функцию и построить её график.

1) Область определения функции: ; — точка разрыва 2-го рода;

2) функция не является ни чётной, ни нечётной (так как не выполняются равенства для всех из области определения функции); функция не является периодической;

3) найдём .

Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает:

x
y'	—		+	∞	—
y		Точка минимума		Точка разрыва

Так как знак при переходе через точку изменяется с «—» на «+», то в этой точке у функции минимум, причём ;

4) Найдём . Очевидно, что при . Поэтому точек перегиба нет, а график функции вогнутый всюду;

x
y'’	+	∞	+
y		Точка раз-рыва

5) Найдём асимптоты графика. Прямая — вертикальная асимптота, так как — точка разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида . Имеем:

; . Поэтому — наклонная асимптота при .

6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Для этого в общем случае надо взять и найти соответствующее значение . Затем взять и найти соответствующее значение . В данном случае получаем только одну такую точку: .

7) Построить график функции по результатам этого исследования. Для этого сначала строим асимптоты (если они есть), и указываем опорные точки: экстремумы, точки перегиба, точки пересечения с осями координат.

Рис. 2

Замечание. График функции асимптоту не пересекает, так как уравнение не имеет решений.

II. Исследовать функцию и построить её график.

¨ 1) Область определения функции: ; — точки разрыва.2-го рода;

2) Функция нечётная, т.е. ; функция не является периодической.

3) Найдём . Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает.

x
y'	—		+	∞	+	+	∞	+		—
y		Т.мин.		Точка разр.			Т. разр.		Т. макс.

Так как знак при переходе аргумента через точки меняется, то в этих точках — экстремумы, причём , .

4) Найдём . Очевидно, что при ; при . Получаем следующую расстановку знаков , по которой мы определяем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких — вогнутый.