Пусть 
, т.е. 
. Тогда
.
Примеры.
Найдём 
, пользуясь формулой для производной сложной функции:
1) 
.
¨ Здесь 
.
2) 
.
¨ Здесь 
.
Определение. Логарифмическая производная функции 
— это производная от 
:
.
Определение. Степенно-показательная функция — это функция вида 
.
Правило нахождения для степенно-показательной функции
1) Логарифмируем 
: 
;
2) Дифференцируем обе части этого равенства: 
;
3) Находим из этого соотношения 
:
.
Примеры нахождения .
1) 
;
¨ 
;
2) 
;
¨ 
;
3) 
;
¨ а) 
; б) 
; в) 
;
4) 
;
¨ а) 
;
б) 
;
в) 
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти :
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
; 17) 
; 18) 
; 19) 
.
Занятие №8.
Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид:
. (1)
Если 
, то 
; если 
, то 
.
Определение. Нормаль к кривой в точке 
— это прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной.
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
. (2)
Если , то ; если , то .
 | |||
 | |||
 |
 | |||||
 | |||||
 | |||||
касательная случай случай
нормаль 
Рис. 1
Определение. Угол 
между кривыми 
, 
в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисления используют формулу:
. (3)
Определение. Предположим, что приращение функции 
в точке может быть представлено в виде
,
где 
— приращение аргумента в точке , функция 
такова, что 
, а 
- некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называют дифференциалом функции в точке и обозначают через 
, т.е.:
.
Приращение обычно обозначают через 
и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом,
.
Можно показать, что 
и, следовательно,
.
Приближённое вычисление значения функции 
в заданной точке.
Для этого используется формула:
. (4)
Примеры
1) Написать уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
¨ Найдём 
. Поэтому, согласно формулам (1) и (2):
— уравнение касательной (или 
);
— уравнение нормали (или 
).
2) Найти угол между кривыми 
и 
, а также угол 
между касательной к кривой в точке 
и осью 
.
¨ Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение 
. Оно имеет единственное решение 
. Найдём 
, 
. Далее воспользуемся формулой (3):
.
Поэтому 
. Как известно (см. геометрический смысл производной), 
. Поэтому 
.
3) Вычислить приближённо: а) 
; б) 
.
¨ Во всех случаях подбираем 
так, чтобы число 
было искомым, а 
легко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).
а) Возьмём 
, 
. Тогда 
, 
, 
;
б) Возьмём 
, 
. Тогда 
, 
, 
.
Задачи для самостоятельного решения
1) Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
2) В какой точке касательная к параболе 
а) параллельна прямой 
?
б) перпендикулярна прямой 
?
3) Найти дифференциал следующих функций:
а) 
; б) 
; в) 
.
4) Вычислить приближённо:
а) 
; б) 
.
Ответы
1) а) 
; б) 
; в) 
.
2) а) 
; б) 
.
4) а) 2,25; б) 1.
Занятие №9.
Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически.
Правило Лопиталя.
1) Пусть надо найти 
, где 
(или 
), т.е. имеет место неопределённость вида 
или 
.Тогда:
.
(Предполагается, что существуют производные 
в окрестности точки 
, а также существует предел, стоящий справа).
2) Пусть надо найти 
, где 
, 
, т.е. имеется неопределённость вида 
. Тогда следует сделать преобразование: 
, получив неопределённость вида , и воспользоваться указаниями в п.1).
3) Пусть надо найти 
, где 
, , т.е. имеется неопределённость вида 
. Тогда сделать подходящее преобразование выражения 
и прийти к случаю 1) или 2).
4) Пусть надо найти 
, где имеется неопределённость вида 
. Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:
Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела
.
Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует 
. Тогда правило Лопиталя не применимо.