Производная сложной функции

Пусть , т.е. . Тогда

.

Примеры.

Найдём , пользуясь формулой для производной сложной функции:

1) .

¨ Здесь .

2) .

¨ Здесь .

Определение. Логарифмическая производная функции — это производная от :

.

Определение. Степенно-показательная функция — это функция вида .

Правило нахождения для степенно-показательной функции

1) Логарифмируем : ;

2) Дифференцируем обе части этого равенства: ;

3) Находим из этого соотношения :

.

Примеры нахождения .

1) ;

¨ ;

2) ;

¨ ;

3) ;

¨ а) ; б) ; в) ;

4) ;

¨ а) ;

б) ;

в) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) .

 

 

Занятие №8.

Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

. (1)

Если , то ; если , то .

Определение. Нормаль к кривой в точке — это прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной.

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

. (2)

Если , то ; если , то .

 

 

 

касательная случай случай

нормаль

 

Рис. 1

 

Определение. Угол между кривыми , в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисления используют формулу:

. (3)

Определение. Предположим, что приращение функции в точке может быть представлено в виде

,

где — приращение аргумента в точке , функция такова, что , а - некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называют дифференциалом функции в точке и обозначают через , т.е.:

.

Приращение обычно обозначают через и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом,

.

Можно показать, что и, следовательно,

.

Приближённое вычисление значения функции в заданной точке.

Для этого используется формула:

. (4)

Примеры

1) Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

¨ Найдём . Поэтому, согласно формулам (1) и (2):

— уравнение касательной (или );

— уравнение нормали (или ).

2) Найти угол между кривыми и , а также угол между касательной к кривой в точке и осью .

¨ Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение . Оно имеет единственное решение . Найдём , . Далее воспользуемся формулой (3):

.

Поэтому . Как известно (см. геометрический смысл производной), . Поэтому .

3) Вычислить приближённо: а) ; б) .

¨ Во всех случаях подбираем так, чтобы число было искомым, а легко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).

а) Возьмём , . Тогда , , ;

б) Возьмём , . Тогда , , .

Задачи для самостоятельного решения

1) Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке :

а) ;

б) ;

в) .

2) В какой точке касательная к параболе

а) параллельна прямой ?

б) перпендикулярна прямой ?

3) Найти дифференциал следующих функций:

а) ; б) ; в) .

4) Вычислить приближённо:

а) ; б) .

Ответы

1) а) ; б) ; в) .

2) а) ; б) .

4) а) 2,25; б) 1.

 

Занятие №9.

Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически.

Правило Лопиталя.

1) Пусть надо найти , где (или ), т.е. имеет место неопределённость вида или .Тогда:

.

(Предполагается, что существуют производные в окрестности точки , а также существует предел, стоящий справа).

2) Пусть надо найти , где , , т.е. имеется неопределённость вида . Тогда следует сделать преобразование: , получив неопределённость вида , и воспользоваться указаниями в п.1).

3) Пусть надо найти , где , , т.е. имеется неопределённость вида . Тогда сделать подходящее преобразование выражения и прийти к случаю 1) или 2).

4) Пусть надо найти , где имеется неопределённость вида . Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:

Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела

.

Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует . Тогда правило Лопиталя не применимо.