Классификация точек разрыва

Определение. Точка называется точкой разрыва I-го рода, если конечный. Если в точке разрыва I-го рода , то эта точка называется точкой устранимого разрыва, если же – то точкой неустранимого разрыва. Точка называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Геометрическая иллюстрация этих определений:

Примеры:

1) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?

▲ Функция непрерывна в точке .

Найдем . Поэтому .

2) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?

▲ Имеем: .

Функция непрерывна в точке .

Отсюда получаем: , т.е. .

3) Сформулируем общий принцип построения и решения задач типа 1) и 2). Функция задается формулой:

где – некоторые параметры, – фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров так, чтобы была непрерывна в точке .

▲ Находим односторонние пределы функции в точке :

, .

Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы , т.е.

(*)

Как правило, функции непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим .

4) Как доопределить функцию в точке , чтобы стала непрерывной в точке ?

а) ; б) ; в)

▲ Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы . Поэтому:

а) (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция);

б) ;

в)

.

Замечание. Для построения задач типа 4) можно взять любую функцию из раздела "Вычисление пределов", для которой пределу соответствует неопределенность вида .

5) Исследовать функцию на непрерывность:

а) .

▲ Точка – точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода; устранимого разрыва, т.к.

б) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. Это точка разрыва I-го рода, причем разрыв неустранимый, т.к.

, .

в) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точек вида , . В этих точках – разрыв, т.к. не определена в них. В точке разрыв I-го рода, причем устранимый, т.к.

.

В точках вида – разрыв II-го рода, т.к.

.

г) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

, .

д) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв II-го рода, т.к.

,

.

е) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В этой точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

,

.