Определение 1. Число 
называется пределом функции 
при 
, стремящемся к 
, если для любого числа 
существует число 
(зависящее от 
), такое, что для любого , удовлетворяющего условию 
, выполнено неравенство
.
Пишем: 
. Говорим: Предел при , стремящемся к " ", равен " " (или: стремится к " " при , стремящемся к " ").
Определение 2. Число называется пределом функции при 
, если для любого числа существует число 
(зависящее от ), такое, что для всех , удовлетворяющих условию
,
выполнено неравенство
.
Пишем: 
(или 
, 
).
Некоторые свойства пределов.
1) 
;
2) 
;
3) 
(
– константа);
4) 
, 
;
5) 
;
6) 
Определение. Функция называется непрерывной в точке 
, если: 1) определена при ; 2) существует 
; 3) 
.
Теорема. Все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения.
Далее мы рассмотрим ряд стандартных пределов (непрерывной, рациональной, иррациональных функций) и сформулируем правила их вычисления.
Вычисление пределов вида 
, где 
–
функция, непрерывная в точке а.
Правило: Воспользоваться формулой:
.
Примеры:
1) 
;
2) 
;
Вычисление пределов вида 
, где 
–
многочлены (неопределенность вида 
).
Правило:
Замечание. Функция 
, где 
– многочлены, называется рациональной.
Примеры:
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Вычисление пределов вида 
, где 
– многочлены, причем 
(неопределенность вида 
).
Правило. В этом случае надо сократить числитель и знаменатель на 
один или несколько раз.
Пример:
6) 
.
Замечания.
а) Если 
или 
, то предел находим непосредственно.
Примеры:
7) 
;
8) 
;
9) 
.
б) Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа 
:
.
Вычисление пределов некоторых иррациональных
Функций.
Правило 1. Ввести новую переменную " 
" так, чтобы можно было извлечь все корни, содержащиеся в функции (обычно функция содержит более одного корня; эти корни – разной степени).
Пример.
10) 
.
Мы сделали замену: 
; при 
.
Правило 2. Перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.
Пример.
11) 
.
Умножили числитель и знаменатель на выражение 
, сопряженное числителю. В результате преобразований корни из числителя "исчезли", но появились в знаменателе.
Замечание. Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа и 
:
В случае примера 11: 
.
Правило 3. Разделить числитель и знаменатель на " " в наивысшей степени, встречающейся в функции (возможно, после некоторых преобразований функции). Обычно в этих случаях 
.
Пример.
12) 
.
Задачи для самостоятельного решения
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  ;
5)  ;
6)  ;
7)  ;
8)  ;
| 9)  ;
10)  ;
11)  ;
12)  ;
13)  ;
14)  ;
15)  .
|
Ответы:
1) 1; 2) 
; 3) 0; 4) -2; 5) ; 6) 4; 7) 
; 8) 
; 9) 3;
10) 
; 11) 
; 12) 1; 13) ; 14) 2; 15) 
.
Занятие 4.
Первый и второй замечательные пределы.
Вычисление пределов вида 
.
