Интервальная оценка распределений. Непараметрическая статистика

Тема № 3

1) Оценка истинности предположений

Здесь решается вопрос: отражают ли наблюдаемые данные объективно существующую реальность. Указанный вопрос решается статистической оценкой параметров распределения и проверкой соответствующих статистических гипотез. Параметр распределения - среднее значение, получаемое по выборочным данным, обычно не совпадает с генеральным средним (математическим ожиданием). В связи с этим возникает вопрос: можно ли по результатам выборочной оценки судить о свойствах всей генеральной совокупности? Ответить на этот вопрос позволяют интервальные оценки, которые позволяют установить точность и надежность полученных оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика M ′ служит оценкой неизвестного параметра M. Тогда можно записать

│M–M′│< δ,

где δ - характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка M′ удовлетворяет неравенству │M – M′│< δ; можно лишь говорить о вероятности p, с которой это неравенство осуществляется. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки M по M′ называют вероятность p = 0,95; 0,99; 0,999, с которой осуществляется неравенство │M– M′│< δ. Доверительным интервалом называется случайный интервал

(M′ - δ; M′ + δ), в пределах которого с вероятностью p находится неизвестный оцениваемый параметр. Число p называется коэффициентом доверия. Это значение задают заранее. Число α = (1 - p) называется уровнем значимости и показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. С учетом возможных значений p, α = 0,05; 0,01; 0,001.Очевидно, что чем меньше α, тем точнее оценка.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака с известным средним квадратическим отклонением находят по формуле

где М — среднее значение, S — среднее квадратическое отклонение, t _{n. p.} — табличное значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы (n - 1) и доверительной вероятностью р, n — количество элементов в выборке. При необходимости коэффициент Стьюдента можно определить, воспользовавшись статистической функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР (надежность; число степеней свободы).

Задача 1. Найти границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения, если у 25 аккумуляторов среднее время разряда в режиме ожидания составило 140 часов, а стандартное отклонение — 2,5 часа.

Решение. Для определения границ доверительного интервала откроем новое окно Exce1.

· Установим табличный курсор в ячейку А2.

· Вызовем окно Мастер функций, нажмем < Вставка функции > (f_x).

· В появившемся окне выберем категорию Статистические и функцию ДОВЕРИТ, после чего нажмем <ОК>.

· В рабочие поля появившегося диалогового окна Аргументы функции с клавиатуры введем условия задачи: уровень значимости (Альфа) – 0,05; среднее квадратическое отклонение (Станд_откл) – 2,5; количество элементов в выборке (Размер) –25. Нажмем <ОК>.

· В ячейке А2 появится полуширина 95%-ного доверительного интервала для среднего значения выборки – 0,98.

На основании проделанного решения можно с 95%-ным уровнем надежности утверждать, что средняя продолжительность разряда аккумулятора составляет 140 ± 0,98 часа или от 139,02 до 140,98 часа.

Задача 2. Имеются результаты измерения диаметров отверстий: 13, 15, 17, 19, 22, 25, 19, 20, 25. Определить среднее значение результатов и границы 99%-ного доверительного интервала для среднего значения.

Задача 3. Исследовалось время безотказной работы 50 лазерных принтеров. Из априорных наблюдений известно, что среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы 16 час. По результатам исследований получено среднее время безотказной работы 1000 час. Постройте 90%-й доверительный интервал для среднего времени безотказной работы.

Задача 4. Для определения средней массы деталей были взвешены 100 штук и результаты сведены в таблицу:

Найти:

1. Величины, которые следует принять за среднюю массу деталей и среднее квадратическое отклонение.

2. Доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя масса деталей.

 

2) Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Математические формулы для вычисления соответственно левого и правого концов доверительного интервала:

где S – среднее квадратическое отклонение, χ2– табличные значения распределения хи-квадрат при f - коэффициенте доверия и n – количестве элементов в выборке.

Чтобы найти значение статистической функцией χ2, необходимо воспользоваться электронным аналогом функции Excel –

ХИ2ОБР (аргумент1;аргумент2), где аргумент 1 – значение вероятности; аргумент 2 – число степеней свободы χ2 распределения.

Задача 1. Результат измерения ширины деталей одного типа —

случайная величина, распределенная по нормальному закону. Случайным образом выбраны 20 деталей и произведены замеры. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения измеренных значений ширины деталей с надежностью 98%.

Решение. Для определения границ доверительного интервала откроем новое окно Exce1.

· Запишем в ячейки таблицы исходные данные: дисперсия S² в ячейку D22, число измеренных деталей n - D24, коэффициент доверия f - D23.

· По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1+ 0,98)/2 = 0,99 получаем = 7,63. Используя, выше приведенную формулу, получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49). Соответствующие формулы Excel:

=(D22*(D24-1)/ХИ2ОБР((1-D23)/2;D24-1))^0,5

=(D22*(D24-1)/ХИ2ОБР((1+D23)/2;D24-1))^0,5

Задача 2. Найти доверительный интервал для σ при условии:

1) S = 1,3; f = 0,95; n= 20 и n= 42. Сравните результаты.

2) n= 25, S= 0,8; f = 0,90.

Задача 3. Определение коэффициента пропускания для различных образцов одной партии стекла марки ОС17 дало следующие результаты: 0,21; 0,17; 0,18; 0,13; 0,19; 0,14; 0,20 и 0,18. Считая, что полученные значения распределены по нормальному закону, требуется определить доверительный интервал для σ при значениях доверительной вероятности 0,9 и 0,95.