Построение графиков. Отражение доверительных интервалов на графиках

Обычно с помощью линейки или лекала через экспериментальные точки проводится гладкая кривая таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от точек до кривой была минимальной.

Рис. 1. Диаграмма с экспериментальных точек погрешности

x

y

На графиках погрешности указываются для одной или обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал (рис. 1), в центре которых расположены экспериментальные точки (или в виде прямоугольника, стороны которого равны доверительным интервалам). В зависимости от того, пройдет ли теоретическая кривая (прямая) через доверительные интервалы экспериментальных точек, результаты эксперимента признают согласующимися или не согласующимися с теорией.

Однако через построенные точки можно, в принципе, провести несколько прямых с немного отличающимся наклоном (или же несколько кривых, если функциональная зависимость нелинейная). Для повышения точности результатов в тех случаях, когда заранее известен вид функциональной зависимости двух величин (линейная, логарифмическая, экспоненциальная или степенная), следует воспользоваться методом наименьших квадратов.

3. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Лабораторная работа № 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Измерить период свободных колебаний математического маятника, определить величину ускорения свободного падения. Научиться производить математическую обработку результатов измерений.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: Виртуальный прибор для исследования колебаний связанных систем.

ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

Изучите теоретический материал по учебнику: уравнение гармонических колебаний, виды маятников. Изучите основные положения вычисления погрешностей (теории ошибок). Ознакомьтесь со схемой лабораторной работы и методом определения ускорения свободного падения. Письменно подготовьте ответы на вопросы для допуска к лабораторной работе.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

1. Укажите цель, опишите схему лабораторной установки и порядок выполнения работы.

2. Почему в лабораторной работе используют небольшие углы отклонения в течение небольшого времени (10 – 12 периодов)?

3. Выведите расчетную формулу для определения .

4. Что называется колебанием? Запишите уравнение гармонических колебаний. Что называется амплитудой, фазой, частотой, периодом?

5. Что такое грубые и систематические ошибки?

6. Как оценивается случайная погрешность?

7. Как оценивается суммарная погрешность прямых измерений?

8. Чему равна погрешность табличных величин?

9. Как вычисляется погрешность косвенного измерения?

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Маятником называют твердое тело, совершающее колебания под действием приложенных сил около неподвижной точки или вокруг оси. Колебания подразделяют на свободные и вынужденные. Свободные (собственные) колебания совершаются маятником при отсутствии сил трения и сопротивления, эти колебания с течением времени не затухают и являются некоторым приближением. Вынужденные колебания не затухают, так как на маятник воздействует периодическая сила, компенсирующая потери энергии.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из точечной массы, подвешенной на невесомой, нерастяжимой нити и колеблющаяся под действием неизменной силы тяжести. Колебания математического маятника, происходящие с малой амплитудой приближенно можно считать гармоническими, то есть их можно описать линейными уравнениями, содержащими функции синуса или косинуса.

При практических измерениях математическим маятником называют реальный объект, размерами которого можно пренебречь по сравнению с характерными размерами колебательной системы или расстоянием до точки наблюдения. При этом масса объекта должна быть много больше массы нити или другого подвеса, а сам подвес не должен менять своей длины в процессе колебаний. Например, металлический шарик диаметром 1 см, подвешенный на тонкой, нерастяжимой (при заданной массе шарика) нити длиной 1м, может считаться математическим маятником. Если длина подвеса и диаметр шарика соизмеримы, то такую систему называют физическим маятником, и она описывается более сложными уравнениями. Основным критерием при подборе геометрических и физических параметров системы является её способность совершать квазигармонические (т.е. близкие к гармоническим) колебания, что должно обеспечить сравнительно малую погрешность измерения.

Квазигармоническими, можно считать колебания реальной модели математического маятника, с отклонениями на небольшие углы (1…10 градусов), в течение небольшого времени, пока амплитуду колебаний можно считать неизменной (10 – 12 периодов).

Период колебаний математического маятника , длина подвеса и ускорение свободного падения связаны следующим соотношением:

. (1)

Это соотношение в данной работе используется для определения ускорение свободного падения.

Ускорением свободного падения называется ускорение относительно Земли, c которым свободное тело начинаетпадать. Это ускорение определяется суммой силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Порядок выполнения работы

ЗАДАНИЕ 1. Измерение периода колебаний маятника, определение погрешности прямых измерений

Измерения следует проводить в следующем порядке:

1. Задайте параметры установки в соответствии с требованиями, предъявляемыми к модели математического маятника и указаниями преподавателя, и занесите их перед таблицей.

2. Задайте одинаковые длины l, а также углы отклонения обоим маятникам в пределах от 1 до 10 градусов, значение l и запишите в лабораторный журнал перед таблицей (коэффициент жёсткости пружины максимальный, пружина вверху подвеса). Нажмите кнопку Применить.

3. Нажмите кнопку ПУСК - .

4. Отсчитайте 8 -12 колебаний маятников, и нажмите кнопку СТОП - .

5. Запишите результат (число колебаний n_i и время этих колебаний t_i) в Таб. 1.

6. Зная число колебаний n и время этих колебаний , по формуле (2) вычислите период колебаний . для каждого измерения: (2)

Результаты измерения периода колебаний маятника Таблица 1.

()		,с	,с	,с	,с	,с2	,с2	ΔT, c
.
.

7. Определите среднее значение периода колебаний .

8. Найдите среднеквадратичное отклонение от среднего .

9. Приняв доверительную вероятность равной 0,95, определите коэффициент Стьюдента и вычислите абсолютную погрешность .

10. Запишите результат измерений в стандартной форме: c.

ЗАДАНИЕ 2. Вычисление ускорения свободного падения и оценка абсолютной погрешности косвенных измерений.

1. Из формулы (1) выведите расчетную формулу для .

2. С учетом того что функция зависит от трех величин x_i (независимых), занесите их в Таблицу 3.2. Вычислите ^, подставив численные значения параметров установки и констант и экспериментально полученные (средние) величины. Обратите внимание на степени независимых величин.

3. Определите абсолютные D x_i, и относительные погрешности этих величин. Результаты также занесите в Таблицу 2.

Результаты вычисления ускорения свободного падения. Таблица 2.
№ п/п	Независимая величина xi	ед.изм.	D xi, ед.изм.				gвыч.м/с2
1.	Т
2.	l
3.	π

4. Запишите результат измерений в стандартной форме:

м/с².

5. При вычислении абсолютной погрешности косвенных измерений можно воспользоваться упрощенной формулой: .

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ:

1. Что такое маятник, и какие виды маятников вы знаете?

2. Поясните понятия: математический и физический маятники.

3. Запишите и объясните уравнение гармонических колебаний.

4. Какие формулы связывают период, фазу, частоту, циклическую частоту?

5. Поясните понятия: собственные, свободные и вынужденные колебания маятника.

6. Поясните понятия: абсолютная и относительная погрешности измерений, приведите примеры, запишите соответствующие формулы.

7. Зависит ли ускорение свободного падения от широты местности и высоты над уровнем моря?