Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1. Найти массу тонкого прямолинейного стержня длины l с переменной линейной плотностью.
Решение. Стержень тонкий – это значит, что поперечные размеры его столь малы по сравнению с длиной, что ими можно пренебречь. Предположим, что зависимость плотности от расстояния точки стержня до одного из его концов известна и может быть описана некоторой функцией. Составим математическую модель задачи следующим образом. Будем интерпретировать стержень с отрезком оси ОХ длины l, например с отрезком [0, l ]. Тогда переменная плотность масс точек стержня есть функция переменной х Î[0, l ], обозначим ее r(х). Разобьем отрезок [0, l ] на п произвольных частей и обозначим длины этих частичных отрезков D li, i = 1,..., n.
Будем полагать, что п достаточно велико, а D li достаточно малы. На каждом из этих отрезков разбиения возьмем произвольную точку x i и в силу малости длины D li можем предполагать, что величина плотности в пределах каждого частичного отрезка меняется незначительно и приближенно равна r(x i). Тогда на каждом отрезке разбиения масса участка стержня приближенно равна mi»r(x i)D li, а масса всего стержня 
и это равенство тем точнее, чем меньше D li (т.е. чем больше п). Поэтому естественно считать искомую массу равной
Задача 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), прямыми х = а и х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ.(рис.1).
Решение. Разобьем отрезок [ a, b ] на п произвольных частей точками х 1, х 2,..., хп, обозначим D хi длину частичного отрезке [ xi– 1, xi ].
Построим прямоугольники с основаниями D хi и высотами f (x i), где x i – произвольная точка из отрезка [ xi– 1, xi ]. Тогда сумма площадей этих прямоугольников приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции
причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше D хi. Поэтому можно считать, что 
.
Если сравнить ответы в этих задачах, можно заметить, что в каждом из них содержатся выражения одинакового характера: предел суммы произведений значений заданной функции в точках отрезков разбиения на длины этих отрезков. Оказывается, существует множество других задач, совершенно различного содержания и из различных областей науки, которые приводят к пределам подобного рода. Поэтому естественно рассмотреть соответствующую абстрактную конструкцию.
Определение и свойства ОИ.
Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ]. Разобьем отрезок [ a, b ] на п произвольных частичных отрезков точками
а = х 0 < x 1 < x 2 <... < xn = b.
Эти точки называются точками разбиения. Обозначим длину отрезка [ xi– 1, xi ] разбиения символом D хi, т.е. D хi = xi – xi– 1, а наибольшую из этих длин обозначим l п ,т.е. l п = 
. На каждом из частичных отрезков [ xi– 1, xi ] возьмем произвольную точку x i и вычислим значение функции в этой точке f (x i). Составим сумму 
, которую называют интегральной суммой для функции f (х), соответствующей данному разбиению и данному выбору точек x i. Если при п ® ¥ l п ® 0, то соответствующую последовательность разбиений называют нормальной.
Определение 19.1. Если для всякой нормальной последовательности разбиений существует конечный предел интегральной суммы при l п ® 0, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек x i, то это предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [ a, b ] и обозначают 
.
Здесь f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования, a, b – пределы интегрирования: a – нижний, b – верхний.
Таким образом, по определению 
. В этом случае функция f (х) называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].
Из определения следует, что определенный интеграл есть число. это число зависит только от вида функции f (х) и от чисел a и b, и не зависит от переменной интегрирования, т.е. = 
= 
=....
Учитывая рассмотренные ранее задачи о массе и о площади криволинейной трапеции, можно дать следующую физическую и геометрическую интерпретацию понятию определенного интеграла:
с физической точки зрения интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a, с переменной линейной плотностью r = f (x), f (x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца;
с геометрический точки зрения интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), f (x) ³ 0, прямыми х = а и х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ.
Мы назвали функцию интегрируемой на отрезке [ a, b ], если для нее существует определенный интеграл на этом отрезке. Рассмотрим условия интегрируемости функции.
Теорема 19.1.(необходимое условие интегрируемости)
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.
Заметим, что обратное утверждение не верно, например, функция Дирихле 
ограничена на любом отрезке [ a, b ], но не интегрируема на нем, т.к. предел интегральной суммы зависит от выбора точек x i.
Теорема 19.2.(достаточные условия интегрируемости)
1) Если функция непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке.
2) Если функция ограничена на [ a, b ] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва (кусочно-непрерывная функция), то она интегрируема на этом отрезке.
3) Монотонная ограниченная на [ a, b ] функция интегрируема на этом отрезке.
