Арифметические основы компьютера
Системы счисления
Для автоматизации работы с данными, которые относятся к разным типам, унифицируют их форму представления. Это можно сделать с помощью кодирования данных на единой основе. В быту используют такие системы кодировки, как азбука Морзе, Брайля, коды морских сигналов. Основное понятие арифметики это число. Число – абстрактное выражение количества. Компьютер обрабатывает информацию, представленную только в числовой форме. Он оперирует с числами, представленными в двоичной системе счисления.
Система счисления – способ представления чисел (правило записи и получения чисел), с помощью фиксированного набора символов, обозначающих цифры. Различные системы счисления отличаются следующими признаками: разное начертание цифр, обозначающие одни и те же числа, разные способы записи, разное количество цифр. По способу представления чисел системы счисления разделяются на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы для записи числа используют множество символов. Значение символа не зависит от местоположения его в числе (римская СС). Основной недостаток – большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – когда от позиции цифры в числе зависит ее вес (555 –единицы, десятки, сотни). Всякая позиционная СС характеризуется основанием, т.е. количеством цифр, используемых для записи числа. За основание СС можно принять любое натуральное число. Наименование системы счисления соответствует ее основанию.
10ая – строится из 10 десятичных цифр: 0, 1, 2,… 9
2ая – строится из 2-х двоичных цифр: 0, 1
8-ая – из 8 цифр: 0, 1, 2,… 7
16-ая требует 16 цифр. Нам нужно дополнительно 6 новых символов: 0, 1… 9 A, B, C, D, F
Люди предпочитают 10 ую (это удобно, видимо потому, что с древних времен считали по пальцам).
В вычислительной технике система кодирования основана на представлении данных в двоичной системе счисления.
Компьютеры используют 2 ую систему, т.к. имеется ряд преимуществ:
· Для ее реализации нужны устройства всего с двумя устойчивыми состояниями (есть ток, нет тока). Это надежнее, чем, например, 10 ая;
· возможно применение аппарата булевой алгебры;
· двоичная арифметика проще десятичной;
Недостаток: - быстрый рост разрядов.
В компьютере наряду с 2-ой используются также 8 ая и 16 ая системы счисления.
Двоичная система счисления является стандартом при конструировании компьютеров.
Десятичная система счисления используется при вводе / выводе информации. Двоичная СС – представляет данные для организации машинных операций. При вводе информация кодируется, а при выводе декодируется. 8-миричная и 16-тиричная системы используются для более короткой и удобной записи, т. к. требует меньше разрядов (для записи программ в машинных кодах).
Обозначение цифр в 2 ой системе: 0, 1, 10, 11(3), 100(4), 101(5), 110(6), 111(7), 1000(8), 1001(9), 1010(10) и т.д.
Обозначение цифр в 8-ой системе: 0, 1, 2 … 7, 10(8), 11(9), 12(10)……17(15), 20(16), 21(17) и т.д.
Обозначение цифр в 16ой системе:0, 1, 2 … 9, A(10), B(11),C(12)... F(15), 10(16), 11(17) и т. д.
Для записи чисел в q – ичной системе требуется q различных цифр (0, 1, 2,…. q-1).
| P=10 | P=2 | P=8 | P=16 |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F | |||
Целое число в позиционной СС может быть представлено в следующем виде ( в виде многочлена ):
A q=a n-1 q n-1+a n-2 q n-2 + … + a0 q 0, где
A – число;
q – основание системы счисления;
ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n – число целых разрядов числа.
Пустьв десятичной системе задано число 37510.
Каждая позиция, занимаемая цифрами, называется разрядом числа. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц (0), разряд десятков (1), разряд сотен (2). Названия соответствуют весу (012). Число в позиционной системе счисления представляет собой сумму степеней основания, умноженную на соответствующий коэффициент, который должен быть одной из цифр данной системы счисления.
А10=375
37510=5*100+7*101+3*102 = 5+70+300=375
Это называется разложением числа по степеням основания.
Номера разрядов совпадают с показателем степени.
По такому же алгоритму переведем в 10-ую систему двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа.
