Системы счисления, двоичная арифметика
Знать:
- разновидности систем счислений, их особенности,
- способы перевода из одной системы в другую,
- формы представления двоичных чисел;
- правила преобразования прямого, обратного и дополнительного кодов;
- правила двоичной арифметики.
Уметь:
- переводить числа из одной системы счисления в другую;
- размещать числа в любой форме представления в разрядной сетке ЭВМ;
- производить операцию суммирования.
Исторически сложилось несколько типов систем счисления:
- позиционная (арабская);
- непозиционная (римская).
В рамках позиционной системы десятичные и двенадцатиричные (у северных народностей), но время выбрало десятичную систему.
В связи с развитием цифровой и вычислительной техники возникли искусственные системы счисления: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Двоичный код необходим для представления информации в электронных узлах ЭВМ.
Восьмеричный и шестнадцатеричный коды удобно применять для компактного представления информации при программировании.
Для представления общего алгоритма обработки информации в ЭВМ, для детального изучения технической части ЭВМ необходимы умение переводить числа из одной системы в другую, выполнять арифметические действия с данными, представленными в двоичном коде.
Рассмотрим примеры:
1. Перевод из десятичной системы в двоичную.
1710 = 100012
17 
2
16
8 
2
1 8
4 
2
0 
4
2 2
0 2
1 Старший разряд
0
Младший разряд
2. Перевод из двоичного кода в десятичный.
100012 = 1710
100012 = 1х20 + 0х21 + 0х22 + 0х23 + 1х24 = 17
3. Перевод из десятичной в шестнадцатеричную.
3110 = 1F16
31 16
16
1 Старший разряд
15 = F Младший разряд
Таблица соответствия десятичного и шестнадцатиричного кодов.
1010 = А16
1110=В16
1210 = С16
1310 = D16
1410 = Е16
1510 = F16
4. Перевод из «16» в «10».
1 F16 = 3110
F16 = 1510
F (15) * 160 + 1 * 161 = 31
5. Перевод из «10» в восьмеричную
1510 = 178
15 8
8
7
6. Перевод из «8» в «10»
17 = 7 * 80 + 1 * 81 = 15
7. Перевод из двоичной в шестнадцатеричную
100111112 9F16
1001 
11112
 |
910 1510
 |  | ||
916 F16
10012 
1 * 20 + 0 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 = 910
11112 1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1510
1510 = F16
8. Перевод чисел из «16» в «2»
1А16 = 0001 10102
110 = 116 = 00012
А16 = 1010 = 10102
из предыдущей таблицы.
Формы представления чисел в ЭВМ.
Разрядная сетка – это свойственное для каждого типа ЭВМ количество разрядов, организованных определенным образом.
7 3 2 1 0
Это восьмиразрядная сетка ЭВМ.
Справа - младший разряд (с номером 0), слева - старший разряд (с номером 7).
В данном случае в разрядной сетке размещено десятичное
число 7. Если в результате какой – либо операции число не помещается в данной разрядной сетке это явление называется переполнением разрядной сетки.При этом теряются старшие разряды и величина числа существенно искажается.
Эта ситуация обнаруживается системой контроля ЭВМ.
Числа представляются в двух формах:
Форма с фиксированной запятой;
2. Форма с плавающей запятой.
Эта информация приводится в технической документации ЭВМ.
В системе команд ЭВМ имеются команды обработки чисел в форме с фиксированной запятой, а также специальный перечень команд для чисел в форме с плавающей запятой.
1.Форма с фиксированной запятой.
Указывается № разряда, после которого как будто бы имеется запятая.Точность результата предусматривается программистом. Чаще всего ЭВМ работает с целыми числами, когда запятая фиксируется после нулевого разряда или с дробными, когда запятая фиксируется перед старшим разрядом.
Под знак числа отводится один разряд, чаще всего - старший. При этом, если число положительное - то в знаковом разряде - 0, если отрицательное – 1.
| 0/1 |
7 6 5 4 3 2 1 0
знак числа.
Пример. Разместить число 510 в шестиразрядной сетке.
- переводим число в двоичный код - 1012;
- определяем знаковым - разряд с №5 (старший);
- в младшие разряды размещаем число 1012;
- старшие разряды левее значащих разрядов заполняем нулями.
знак 4 3 2 1 0 номера разрядов
2. Форма с плавающей запятой.
Состоит из мантиссы и порядка числа 2.
М 2 п - М - мантисса, П - порядок числа 2.
Пример.
1101х 210 - 13 х 22 = 52.
| знак мантиссы | мантисса | знак порядка | порядок |
Для данного примера:
- знак мантиссы - 0;
- мантисса - 1101;
- знак порядка - 0;
- порядок - 10.
Для хранения данного числа необходимо иметь 8 –иразрядную сетку.
Двоичная арифметика.
С двоичными числами, как и с десятичными можно производить арифметические действия.
Для упрощения технической части ЭВМ все 4 арифметических действия сводятся к операции суммирования и выполняются в АЛУ, где основным устройством является сумматор.
