Форма с фиксированной запятой;

Системы счисления, двоичная арифметика

 

Знать:

 

- разновидности систем счислений, их особенности,

- способы перевода из одной системы в другую,

- формы представления двоичных чисел;

- правила преобразования прямого, обратного и дополнительного кодов;

- правила двоичной арифметики.

 

Уметь:

- переводить числа из одной системы счисления в другую;

- размещать числа в любой форме представления в разрядной сетке ЭВМ;

- производить операцию суммирования.

 

Исторически сложилось несколько типов систем счисления:

 

- позиционная (арабская);

- непозиционная (римская).

В рамках позиционной системы десятичные и двенадцатиричные (у северных народностей), но время выбрало десятичную систему.

В связи с развитием цифровой и вычислительной техники возникли искусственные системы счисления: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Двоичный код необходим для представления информации в электронных узлах ЭВМ.

Восьмеричный и шестнадцатеричный коды удобно применять для компактного представления информации при программировании.

Для представления общего алгоритма обработки информации в ЭВМ, для детального изучения технической части ЭВМ необходимы умение переводить числа из одной системы в другую, выполнять арифметические действия с данными, представленными в двоичном коде.

 

 

Рассмотрим примеры:

 

 

1. Перевод из десятичной системы в двоичную.

 

17₁₀ = 10001₂

 

17 2

16

8 2

1 8

4 2

0 4

2 2

0 2

1 Старший разряд

0

Младший разряд

 

 

2. Перевод из двоичного кода в десятичный.

10001₂ = 17₁₀

 

 

10001₂ = 1х2⁰ + 0х2¹ + 0х2² + 0х2³ + 1х2⁴ = 17

 

3. Перевод из десятичной в шестнадцатеричную.

 

31₁₀ = 1F₁₆

31 16

16

1 Старший разряд

 

15 = F Младший разряд

 

Таблица соответствия десятичного и шестнадцатиричного кодов.

 

 

10₁₀ = А₁₆

 

11₁₀=В₁₆

 

12₁₀ = С₁₆

 

13₁₀ = D₁₆

 

14₁₀ = Е₁₆

 

15₁₀ = F₁₆

 

 

4. Перевод из «16» в «10».

1 F₁₆ = 31₁₀

 

F₁₆ = 15₁₀

 

F (15) * 16⁰ + 1 * 16¹ = 31

 

5. Перевод из «10» в восьмеричную

15₁₀ = 17₈

15 8

8

7

 

6. Перевод из «8» в «10»

 

17 = 7 * 8⁰ + 1 * 8¹ = 15

 

7. Перевод из двоичной в шестнадцатеричную

10011111₂ 9F₁₆

1001 1111₂

9₁₀ 15₁₀

9₁₆ F₁₆

 

 

1001₂ 1 * 2⁰ + 0 * 2¹ + 0 * 2² + 1 * 2³ = 9₁₀

 

 

1111₂ 1 * 2⁰ + 1 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ = 15₁₀

 

 

15₁₀ = F₁₆

 

8. Перевод чисел из «16» в «2»

 

1А₁₆ = 0001 1010₂

 

1₁₀ = 1₁₆ = 0001₂

 

А₁₆ = 10₁₀ = 1010₂

 

из предыдущей таблицы.

 

 

Формы представления чисел в ЭВМ.

 

Разрядная сетка – это свойственное для каждого типа ЭВМ количество разрядов, организованных определенным образом.

 

7 3 2 1 0

Это восьмиразрядная сетка ЭВМ.

Справа - младший разряд (с номером 0), слева - старший разряд (с номером 7).

В данном случае в разрядной сетке размещено десятичное

число 7. Если в результате какой – либо операции число не помещается в данной разрядной сетке это явление называется переполнением разрядной сетки.При этом теряются старшие разряды и величина числа существенно искажается.

Эта ситуация обнаруживается системой контроля ЭВМ.

 

Числа представляются в двух формах:

Форма с фиксированной запятой;

2. Форма с плавающей запятой.

Эта информация приводится в технической документации ЭВМ.

В системе команд ЭВМ имеются команды обработки чисел в форме с фиксированной запятой, а также специальный перечень команд для чисел в форме с плавающей запятой.

 

1.Форма с фиксированной запятой.

Указывается № разряда, после которого как будто бы имеется запятая.Точность результата предусматривается программистом. Чаще всего ЭВМ работает с целыми числами, когда запятая фиксируется после нулевого разряда или с дробными, когда запятая фиксируется перед старшим разрядом.

Под знак числа отводится один разряд, чаще всего - старший. При этом, если число положительное - то в знаковом разряде - 0, если отрицательное – 1.

0/1

7 6 5 4 3 2 1 0

знак числа.

Пример. Разместить число 5₁₀ в шестиразрядной сетке.

- переводим число в двоичный код - 101_2;

_- определяем знаковым - разряд с №5 (старший);

- в младшие разряды размещаем число 101₂;

- старшие разряды левее значащих разрядов заполняем нулями.

 

знак 4 3 2 1 0 номера разрядов

 

2. Форма с плавающей запятой.

Состоит из мантиссы и порядка числа 2.

М 2 ^п - М - мантисса, П - порядок числа 2.

Пример.

1101х 2¹⁰ - 13 х 2² = 52.

 

знак мантиссы

мантисса

знак порядка

порядок

 

Для данного примера:

- знак мантиссы - 0;

- мантисса - 1101;

- знак порядка - 0;

- порядок - 10.

Для хранения данного числа необходимо иметь 8 –иразрядную сетку.

Двоичная арифметика.

 

С двоичными числами, как и с десятичными можно производить арифметические действия.

Для упрощения технической части ЭВМ все 4 арифметических действия сводятся к операции суммирования и выполняются в АЛУ, где основным устройством является сумматор.