Вычисление параметров эффективности системы по результатам прогона модели.

Абсолютную пропускную способность А вычисляем как отношение числа пришедших в систему заявок к времени моделирования. Вероятность отказа находим как число заявок получивших отказ от обслуживания отнесенных к полному числу поступивших требований. Тогда относительная пропускная способность системы (или отношение обслуженных заявок к полному их числу). Существует ряд способов расчета среднего числа заявок в очереди (метод интервалов, метод повторений и т.д.), однако, в виду того, что эти методы достаточно громоздки при расчетах, здесь принят другой подход. Среднее время пребывания требования в очереди легко подсчитать, разделив полное время пребывания в очереди на полное число заявок. А среднее число заявок в очереди можно найти используя формулу Литлла, справедливую для всех типов СМО ,

Аналогично можно поступить и для среднего времени в системе и среднего числа заявок в системе .

 

 

5.3 Моделирование СМО с отказами.

 

Построение программы для этого случая незначительно отличается от описанного выше. Так как очереди нет, то заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, покидает систему не получив обслуживания. Соответствующий оператор имеет вид,

.

(Операторы типа не выполняют никаких функций и включены в программу только для сохранения ее структуры).

 

5.4 Моделирование простейшей СМО с неограниченной очередью.

 

Системы с неограниченной очередью, не работают, если коэффициент загрузки , что с формальной точки зрения вызвано расходимостью ряда при вычислении вероятности p0, а фактически соответствует неограниченному возрастанию длины очереди. Отметим, что данный вывод справедлив только для систем, с простейшими потоками, при других законах распределения, например, времени обслуживания, СМО может иметь финальные вероятности состояний и стационарный режим работы и при .

Для исключения ситуаций с неограниченным возрастанием числа заявок в очереди в моделирующей программе имеется блок

.

Команда “return” прекращает выполнение программы и показывает причину сбоя. Выбор предельного значения mo, при достижении которого моделирование прекращается, формально не обосновывается, но из общих соображений величина 100-200 требований в очереди «достаточна».

 

5.5 Моделирование СМО с неограниченной очередью при различных законах распределения для входного потока и времени обслуживания.

 

Пусть случайный промежуток времени между заявками входного потока распределен по произвольному закону f1(t) с математическим ожиданием mot1 и средним квадратичным отклонением sk1. Случайное время обслуживания распределено по закону f2(t) c соответствующими числовыми характеристиками mot2 и sk2. Ограничимся в этой работе тремя законами, а именно, показательным, равномерным и цензурированным нормальным. (Так как промежуток времени не может принимать отрицательные значения, то для нормального распределения нужно либо отбрасывать отрицательные реализации случайной величины, либо брать их по модулю – в этих случаях говорят о цензурированном нормальном законе). Случайные числа для выбранных законов генерируются программами пакета MathCad rexp(n,λ), если распределение показательное, runif(n,a.b) – равномерное, rnorm(n,m,σ) – нормальное. Здесь n – число реализаций, λ, a, b, m, σ параметры распределений.

Для дальнейших сравнений результатов, сначала проведем расчет параметров простейшей СМО.

Тогда, - интенсивность входного потока, - среднее время обслуживания и . Число каналов n, каналы нумеруются индексом k . Вероятности состояний находим по обычным формулам [5]

,

где m, номер занятого места в очереди.

 

 

Построение моделирующей программы не отличается от приведенного в предыдущем разделе. Меняются лишь выражения для вычисления случайных времен событий.

Результаты моделирования простейшей СМО, получены при времени моделирования , где − характерное время задачи. При изучении СМО, характерным (определяющим) временем является среднее время между поступающими в систему заявками. Принятая здесь величина tmm в практике моделирования считается приемлемой.

Предварительно проведем расчет параметров эффективности простейшей СМО по точным формулам и определим те же величины при помощи ИМ (здесь все потоки простейшие − времена распределены по показательному закону).

 

Оценим дисперсию случайной величины - среднего времени в очереди. Для этого проведем 10 прогонов при неизменных параметрах системы и модели.

Результаты удовлетворительны и модель можно считать адекватной.

Переходим к моделированию СМО с другими законами распределения потоков. Пусть входной поток характеризуется равномерным законом, а время обслуживания – нормальное, тогда

Сравнение результатов будем проводить с простейшей системой имеющей те же входные характеристики.

 

 

Число обслуженных заявок сократилось на 14%, поэтому параметры СМО, связанные с очередью заметно улучшились. Поменяем использованные выше законы местами.

Результаты моделирования практически не изменились (поэтому здесь не приводятся). В заключение проведем анализ использования детерминированного выходного потока с фиксированным временем обслуживания поступающих заявок tф = mot2. Входной поток простейший.

Абсолютная пропускная способность системы практически не меняется, а параметры очереди заметно лучше.

Таким образом, при законах распределения со временем обслуживания отличном от показательного, параметры эффективности связанные с очередью улучшаются. Это, по-видимому, связано с тем, что вероятность появления очень большого промежутка (более 3σ) обслуживания заявки для показательного закона много больше, чем для нормального и тем более равномерного и детерминированного.

В приложении приведена основная моделирующая программа.

Индивидуальные задания по теме «Системы массового обслуживания».

Задание № 1. Системы массового обслуживания с отказами.

АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью вызовов в минуту. Время переговоров распределено по показательному закону, среднее время составляет t мин (). Информация об исходных данных приведена в таблице.

1. Описать состояния СМО, построить граф состояний.

2. Найти предельные вероятности состояний системы. Найти показатели эффективности работы АТС, проанализировать эти показатели.

3. Изучить зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока, зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4. Определить, сколько линий должна иметь АТС, чтобы вероятность отказа не превышала 0,01.

5. Провести моделирование системы. Сравнить полученные результаты с точными значениями функциональных характеристик.

 

 

	№ варианта
	0.9	0.7	0.8	1.3	0.7	0.8	0.9	1.2	1.3	1.1
t	2.9	2.4	0.9	2.6	2.5	2.4	2.5	2.6	2.8	2.3

Задание № 2. Системы массового обслуживания с очередями.

Задача 1

 

В приемно-отправочный парк станции поступает простейший поток поездов со средней интенсивностью составов в час.

Две бригады осмотрщиков обрабатывают состав со средней продолжительностью . Время обработки распределено по показательному закону. Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице

 

Вар.
	3.0	4.0	5.0	6.0	5.6	4.8	3.5	4.3	5.1	5.4
t

 

1. Описать состояния системы, построить граф состояний.

2. Найти вероятности состояний для стационарного случая и показатели эффективности работы бригады осмотрщиков. Оценить эффективность работы бригады.

3. Провести моделирование системы. Сравнить полученные результаты с точными значениями функциональных характеристик.

 

 

Задача 2

На сортировочной станции работают две сортировочные горки. На расформирование прибывает простейший поток составов с интенсивностью составов в сутки. Горочный технологический интервал составляет . Время подчинено показательному закону. Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице

 

Вар.
t

 

1. Описать состояния системы, построить граф состояний.

2. Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатель эффективности работы сортировочной станции. Определить процент составов, идущих сразу в обработку.

3. Провести моделирование системы. Сравнить полученные результаты с точными значениями функциональных характеристик.

4. Пусть входной поток подчиняется равномерному закону распределения, а время обслуживания − нормальное. Методом ИМ найти характеристики СМО и сравнить их с результатами простейшей системы.

 

 

Задача 3

 

СМО представляет собой автозаправочную станцию (АЗС) с n колонками. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более m автомашин. Если вся площадка занята, то следующий автомобиль не обслуживается. Поток автомашин на заправку простейший, с интенсивностью автомашин в минуту. Время заправки показательное со средним значением . Исходные данные приведены в таблице

 

 

Вар.
	1,0	2,0	1,5	3,0	1,5	2,0	1,5
t
n
m

 

1. Описать состояния системы, построить граф состояний.

2. Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы СМО, проанализировать их, оценить работу АЗС.

3. В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания получили не более двух % автомашин, нуждавшихся в заправке. Проверить, удовлетворяет ли АЗС этому условию. Если нет, то найти число колонок, при котором это условие будет выполняться.

4. Провести моделирование системы. Сравнить полученные результаты с точными значениями функциональных характеристик.

 

 

6. Моделирование стоимости пакета ценных бумаг.

 

Стоимость пакета акций наряду, с некоторым глобальным ростом, обусловленным общей динамикой рынка испытывает кратковременные колебания, связанные с поступающей благоприятной и неблагоприятной информацией и поведением отдельных игроков – держателей таких акций. Пусть положительный тренд можно прогнозировать исходя из опыта предыдущих лет в виде некоторой непрерывной функции, например экспоненциальной. Прогноз кратковременных колебаний практически невозможен из-за множества случайных факторов взаимно накладывающихся и нелинейно влияющих на мгновенное значение цены. Возможен лишь относительный прогноз пределов таких колебаний близи средних значений определяющихся общей тенденцией к повышению стоимости акций на рынке. Пусть некоторый держатель акций поставил цель получить дополнительный доход, играя на кратковременных изменениях цен, дополнительный относительно естественного роста индекса цен. Изучив поведение рынка за предыдущие годы, он построил зависимость , имеющую вид при − начальном значении стоимости пакета. График такой зависимости имеет вид

Учитывая колебания цен как случайный процесс можно получить такую реализацию (одну из бесконечного множества возможных).

 

Пусть имеется пакет из 1000 акций по 10 руб. каждая, имеются резервные средства на дополнительную покупку в размере 100 руб. Других средств нет.

Предлагается следующая стратегия покупок и продаж акций. Сделка проводится один раз в неделю. Если средняя цена акции за неделю превышает значение стоимости, определяемое общим положительным трендом на δ%, то продается пакет из 100 акций. Если средняя цена акции за неделю ниже на δ% такой стоимости, то пакет из 100 акций приобретается при наличии резервных средств. При средней цене в пределах (−δ%; + δ%) сделка в эту неделю не производится. Средства, получаемые от продаж, поступают в резервный фонд, а при превышении резерва в 100 руб. используются на потребление.

Задание по лабораторной работе на тему «Игра на бирже ценных бумаг».

Дан уровень случайных колебаний стоимости акций ω% и значение δ%, определяющее критерий покупок и продаж. Используя заготовку моделирующей программы (Приложение 5), провести k прогонов модели для конкретных ω и δ и найти средние значения стоимости пакета акций, денег имеющихся в резерве на конец моделирования и средств потраченных на потребление. Определить дисперсии этих величин и сделать вывод о качестве предложенной стратегии.

Индивидуальныезадания.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
δ%	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.5	0.55	0.6
ω%	0.8	0.85	0.9	0.95	1.0	1.05	1.1	1.05	1.0	0.95

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
δ%	0.8	0.75	0.6	0.65	0.55	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7
ω%	0.8	0.85	0.9	0.95	1.0	1.05	1.1	1.05	1.0	0.95

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Советов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем.− «Высшая школа», М., 1985.

2. Уотшем Т. Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах. ЮНИТИ, М., 1999.

3. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. Из-во МГТУ, 2002.

4. Таха Х. Введение в исследование операций. «Мир», М., 1985.

5. Кац А.Я., Скачков П.П., Толмачева М.А. Математические модели массового обслуживания. Из-во УрГУПС, Екатеринбург, 2001.

6. Плис А. И., Сливина Н. А. MATHCAD: математический практикум. – М.,1999.