Общее уравнение баланса массы

В расчетах процессов химической технологии обычно используется система координат Эйлера, т. е. система координат, фиксированная относительно некоторого неподвижного объема пространства, через который протекает материальная среда. Такой объем называют контрольным, а поверхность, ограничивающую контрольный объем, именуют контрольной.

Рис. 7.1. Контрольная поверхность

Выделим на контрольной поверхности S элементарную площадку dS и восстановим к ней нормаль n (см. рис. 7.1). Тогда интегральное уравнение баланса массы (при отсутствии процессов диффузионного переноса) будет иметь вид

где ρ – плотность;

τ– время;

x – угол между вектором скорости и нормалью к контрольной поверхности S.

Первый интеграл в уравнении характеризует расход вещества через контрольную поверхность, а второй – скорость накопления вещества в контрольном объеме.

Для химических аппаратов можно полагать, что вектор скорости потока перпендикулярен контрольной поверхности в точках входа и выхода и параллелен ей в остальных точках, поэтому это уравнение можно проинтегрировать:

Два первых слагаемых в уравнении есть разность потоков на выходе и входе в аппарат, а третье – скорость накопления вещества в аппарате. Средняя скорость потока ū определяется выражением (по теореме о среднем)

Если определить массовый расход как W= ρ ūS, то предпоследнее уравнение примет вид

Для стационарного процесса

Все эти уравнения являются балансом массы по всему веществу, проходящему через контрольный объем. Уравнение баланса массы по компоненту в такой же форме можно записать так:

где R _i - скорость образования или расходования компонента i за счет химической реакции.

Последнее уравнение получено в предположении отсутствия диффузионных потоков. Его можно записать для каждого компонента системы. В сумме они дадут уравнение баланса массы по всему веществу, так как å R_i = 0.

Таким образом, для n -компонентной системы можно составить n уравнений, причем одно уравнение общего баланса массы и (n -1) уравнение балансов массы по компонентам смеси.

При отсутствии химических реакций уравнение общего баланса массы можно записать в мольных расходах:

При наличии химического взаимодействия уравнение в мольных расходах по компоненту примет вид

где N _i – число молей компонента.

Суммирование последнего уравнения по всем компонентам дает

В общем случае сумма скоростей превращения компонентов (S R_i) не всегда равна нулю, так как число молей в процессе реакции может изменяться. Рассмотрим пример применения уравнения материального баланса к нестационарному процессу.

Пример 7.3. При упрощенном способе производства Н₃РО₄ в хорошо перемешиваемую емкость, где реагирует 4000 кг/ч взвешенного в воде Са₃(РО₄)₂, подается стехиометрическое количество 94 %-ной серной кислоты. Вместе с фосфоритной мукой подается вода, в количестве достаточном для получения при стационарном ходе процесса 40 %-ной фосфорной кислоты. Образующиеся раствор фосфорной кислоты и гипс (CaSO₄·2H₂O) равномерно удаляются из смесителя, так что общая масса в нем остается постоянной. Какова будет концентрация раствора фосфорной кислоты в емкости по истечении 1 часа работы, если процесс начался, когда в емкости находилось 4000 кг 20 %-ной фосфорной кислоты?