Моделирование физических процессов

 

Физика и моделирование

В физике математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Наряду с традиционным делением физики на экспериментальную и теоретическую сегодня уверенно выделяется третий фундаментальный раздел – вычислительная физика. Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограниченны. Из многих конкретных причин выделим две наиболее часто встречающихся:

· нелинейность многих физических процессов и отсюда нелинейность описывающих их математических моделей

· необходимость исследования совместного движения многих тел, для которого приходится решать системы большого числа уравнений.

Численное моделирование в физике называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с лабораторным экспериментом.

Таблица 1

Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментами

 

Лабораторный эксперимент	вычислительный эксперимент
Образец Физический прибор Калибровка прибора Измерение Анализ данных	Модель Программа для компьютера Тестирование программы Расчёт Анализ данных

 

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом является анализ результатов, представление их в максимально наглядной и удобной для восприятия форме. Получение распечатки чисел еще не означает окончания моделирования (даже если эти числа верны). Важно представить результаты в виде графиков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов для получения качественной информации. Здесь необходима помощь компьютера – возможность визуализации абстракций.

Компьютерная научная графика. Понять по графику свойства сложной функции человеку гораздо легче, чем из соответствую­щей формулы, хотя в ней информации, строго, говоря, гораздо больше. Так уж устроено человеческое восприятие, что рисунки, пусть даже условные, гораздо легче воспринимаются рассудком, чем сложные формулы или колонки чисел.

В современной прикладной информатике этим обстоятельством очень широко пользуются, и в ней сформировалось соответствующее направление - машинная (компьютерная) графика. По определению, машинная графика - раздел информатики, в рамках которого исследуются и разрабатываются технические, математические, программные и методические средства и приемы использования ЭВМ для создания, обработки, хранения и практического применения графических изображений. В машинной графике выделяют несколько разделов.

Иллюстративная графика, простейшими программными средствами которой являются всем знакомые диалоговые программы - графические редакторы. Она служит для создания изображений. Это - средство реализации воображения.

Деловая графика существенно «скучнее». Когда бухгалтеру, экономисту и т.д. нужно перевести сухие колонки чисел в столбчатую диаграмму, круговую диаграмму, график, достаточно вызвать такую программу и в ходе диалога сообщить ей заголовки, подписи, разметки, цвета и т.д. и имя файла, в котором по определенным правилам записаны указанные числа. Система построит заданное изображение на экране, выведет его на принтер.

Одна из самых сложных и специализированных разновидностей систем машинной графики - инженерная графика, известная также под именем САПР - системы автома­тизированного проектирования. Это диалоговые системы, предназначенные для автоматизации процесса проектирования технических объектов, создания полных комплектов проектных документов с учетом существующих норм стандартов.

И, наконец, научная графика - наиболее актуальная для изучаемого курса и наи­менее всех допускающая единое описание. Универсальных систем компьютерной научной графики, по-видимому, не существует из-за огромного разнообразия задач. Часто программы, реализующие наглядное изображение решения научной задачи (почти всегда по итогам математического моделирования), встраиваются внутрь основной программы, пишутся на том же самом языке программирования.

Общую цель научной графики можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное «видимым». Берем последнее слово в кавычки, так как часто эта «видимость» весьма условна. Можно ли увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродат­чиков, т.е., по существу, его разрушения?- Да, если есть соответствующая математи­ческая модель, и, что очень важно - договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке.

Более того, можно «увидеть» и то, что строго говоря, вообще плохо соответст­вует слову «видеть». Так, квантовая химия дает нам возможность «увидеть» строение молекулы. Эти изображения верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.д.) принципиально не применимы. Однако, многоцветное «изображение» молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся результатами расчета.

При решении относительно несложных задач нашего курса при построении траекторий движения тел, графиков целесообразно ориентироваться на тот язык программирования, на котором реализуется математическая модель.

Условные цвета, условное контрастирование. - Условная раскраска – это один из интересных приемов совре­менной научной графики. Она находит широчайшее примене­ние в самых разных приложениях науки и представляет собой максимально удобную, хотя и очень условную, визуализацию результатов компью­терного моделирования.

Приведем примеры. В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и, с точки зрения специалиста, весьма неэффективный) - привести карту (чертеж, план), в некоторых точках которой обозначены значения температуры.

Другой способ - набор изотерм - гораздо эффективнее; к нему прибегают некоторые газеты, давая состояние и прогноз погоды. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные - между ними.

Допустим, что на некоторой территории температура в данный момент имеет в разных местах значения от -25°С до + 15°С. Разделим этот диапазон на участки с шагом, равным, например, 5°

[-25,-20],[-20,-15],..„[+10,+15].

Затем закрасим первый из участков в ярко-голубой, последний - в ярко-красный, а все остальные - в промежуточные оттенки голубого и красного цветов. Получится замечательная, наглядная картина температурного поля.

 

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛА С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

 

Второй закон Ньютона.

В рассматриваемых ниже физических задачах фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько, то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратно пропорционально его массе:

В ситуации, когда сила или масса не являются величинами постоянными, необходимо записать этот закон в более общей математической форме.

Допустим, что сила или масса (или и то, и другое) непостоянны и заданным образом зависят от времени, скорости движения или перемещения: и . Достаточно хотя бы одной зависимости, чтобы ускорение было величиной переменной. Тогда формула Ньютона определяет значение ускорения в тот момент времени, которому соответствуют сила и масса. Интерес представляет временная зависимость перемещения и скорости .

Поскольку ускорение есть приращение скорости, а скорость — приращение перемещения, то

 

(1)

 

а сам второй закон Ньютона приобретает вид

(2)

 

или, что то же самое,

 

(3)

 

 

Произведем дискретизацию по времени. Пусть в начальный момент времени t₀ величина s имеет значение s_0, а величина v – значение v₀. Тогда в некоторый последующий момент времени будем иметь

(4)

 

В последующие моменты времени можно поступать аналогично (4). Так, если известны значения v_i, и s_i в момент t_i, то

(5)

Сила сопротивления.

При реальных физических движениях сила сопротивления накладывает огромный отпечаток на характер движения.

О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости V (хотя это утверждение не является абсолютным).

При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение

,

где определяется свойствами среды и формой тела.

Например, для шарика – это формула Стокса, где - динамическая вязкость среды, r — радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20°С и давлении 1 атм: = 0,0182 Н·с/м²,

для воды = 1,002 Н·с/м²,

для глицерина = 1480 Н·с/м².

Оценим, при какой скорости v* для падающего вертикально шара сила сопротивления сравняется с силой тяжести и движение станет равномерным.

Имеем

тогда

(6)

 

Пусть r = 0,1 м, r = 0,8*10³ кг/м³ (дерево). При падении:

в воздухе v* = 960 м/с,

в воде v* = 17 м/с,

в глицерине v* = 0,012 м/с.

На самом деле первые два результата для v * не соответствуют действительности. Дело в том, что даже при меньших, чем первые две, скоростях становится пропорциональной квадрату скорости: .

Если квадратичная составляющая скорости намного больше линейной составляющей скорости в формуле: ,

т. е. k₂ × v²» k₁ × v, то вкладом линейной составляющей k₁ × v можно пренебречь – это конкретный пример ранжирования параметров.

Определим значение коэффициента k₂. Величина k₂ пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, плотности среды и зависит от формы тела. Обычно представляют , где c - коэффициент лобового сопротивления - безразмерен. Некоторые значения c приведены на рис.1.

	Диск	с = 1,11
	Полусфера	с = 1,33
	Полусфера	с = 0,55
	Шар	с = 0,4
	Каплевидное тело	с = 0,045
	Каплевидное тело	с = 0,1

Рис 1. Значения коэффициента с – лобового сопротивления

 

 

Плотность среды:

в воздухе – = 1,29 кг/ м³,

в воде – = 1*10³ кг/м³,

в глицерине – = 1,26*10³ кг/ м³.

 

Используя квадратичную составляющую скорости при подсчете , можно получить v *: в воздухе v* = 18 м/с,

в воде v* = 0,65 м/с,

что соответствует действительности.

Свободное падение тела.

Математическая модель свободного падения тела – уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления среды: , где , .

Движение является одномерным. Проецируя силу , скорость и перемещение на ось, направленную вертикально вниз, из (3) получаем

 

 

(7)

 

 

В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пренебречь (если она заведомо много меньше другой).

Если скорость движения мала (v = 0.1 м/с), т. е. k₂ v² << k_1×v, то отбрасывается квадратичная составляющая скорости в формуле силы сопротивления.

Если скорость движения велика (v =100 м/с),т. е. k₂ v² >> k _1×v, то отбрасывается линейная составляющая скорости в формуле силы сопротивления.

Частичное тестирование моделирующей программы можно провести для движения без сопротивления. Аналитическое решение в этом случае общеизвестно.

Входные параметры модели:

· Начальная высота тела;

· Начальная скорость тела;

· Величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды.

Задача

Парашютист совершает затяжной прыжок. Считая массу парашютиста заданной (m=80 кг), определить, начиная с какого времени после начала полета скорость человека - «безпарашютиста» становится постоянной. Построить график зависимости скорости падения «безпарашютиста» от времени.

Решение.

Нужно определить характер изменения скорости со временем, если все параметры, входящие в уравнения системы (7), заданы. При такой постановке модель носит дескриптивный характер. Ясно, что при наличии сопротивления, растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопротивления сравняется с силой тяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений (7), однако, поскольку нужен график изменения скорости, то будем рассматривать только второе уравнение системы (7).

Поставим вопрос: влияет ли на полет «безпарашютиста» линейная составляющая скорости в ?

Скорость движения достаточно большая,поэтому вкладом линейной составляющей силы сопротивления k_1×v можно пренебречь. Тогда получим систему дифференциальных уравнений:

(8)

;

 

из которых будем рассматривать только второе уравнение. Здесь v –скорость, t – время, h – высота, m – масса, g – ускорение свободного падения, k₂ – коэффициент квадратичной составляющей скорости.

Вычислим значение коэффициента k₂ для данной задачи. Средний рост человека возьмем средний - 1,7 м, а полуобхват грудной клетки –характерный размер – это приблизительно 0,4 м. Выберем число с = 1,22 как среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор для качественной оценки правдоподобен). Оценим площадь поперечного сечения:

S = 1,7×0,4=0,7 м².

= 1,29 кг/м³

Тогда 0,5×1,22×0,7×1,29 = 0.55083 кг/м.

Масса парашютиста m = 80 кг.

Теперь можно приступить к численному решению задачи. При этом следует воспользоваться одним из известных численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение находится с помощью, так называемого, исправленного метода Эйлера – метода Эйлера - Коши.

 

Метод ЭЙЛЕРА-КОШИ

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение

(9)

с начальным условием

. (10)

Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки х₀, систему равностоящих точек . Вместо искомой

интегральной кривой на отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке (обозначим ее L₁) с уравнением

 

При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, проводя касательную некоторой интегральной кривой семейства в точке , получим:

что при дает т. е. получается из

добавлением приращения

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(11)

 

 

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки точку . Метод Эйлера - Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:

 

(12)

 

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

В соответствии с методом Эйлера – Коши запишем итерационные уравнения нахождения значения скорости n_i+1 в следующий момент времени из предыдущего n_i (обозначим t – шаг по времени).Обозначив

 

(13)

Тогда в момент времени t_i+1 согласно методу Эйлера – Коши запишем формулы:

 

(14)

 

Тогда, подставляя (13) в формулы (14), в итоге получим:

Для ускорения процесса работы над задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором Excel).

В Excel в ячейках D2, D4, D6, D8 таблицы будем хранить соответственно значения шага вычислений t, массы «безпарашютиста» m, величины mg, коэффициента . Это связано с тем, что все константы удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать расчетные формулы Тогда для вычисления значения в ячейке В4 нужно записать формулу:

=B3+$D$2/2*(($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4+($D$6-

$D$8*(B3+$D$2*($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4)^2)/$D$4)

и произвести автозаполнение столбца В.

В столбце А в ячейку А4 нужно записать формулу: =СУММ(А3;$D$2) и произвести автозаполнение столбца А.

Построение графика.

1. Выделить диапазон ячеек B3:B20, содержащий данные для построения графика. Значения из столбца A (диапазон A3:A20) будут откладываться по оси ОХ (ось времени), значения из столбца B (диапазон B3:B20) – по оси OY.

2. Выбрать команду Вставка, Диаграмма. С помощью мастера диаграмм провести построение графика в четыре этапа (шага).

Шаг 1.

> В диалоговом окне Тип диаграммы на вкладке Стандартные выбрать тип диаграммы Точечная и вид – Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

> Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 2.

> В окне Источник данных диаграммы на вкладке Диапазон данных проверить, что диапазон данных выбран правильно и установлен флажок опции Ряды в столбцах.

> Выбрать вкладку Ряд и в поле Имя: ввести название графика Зависимость v от t.

> Установить курсор в поле «Подписи оси Х» и занести диапазон ячеек по переменной t (1 столбец).

> Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 3.

На этом шаге задаются параметры диаграммы (окно Параметры диаграммы).

> На вкладке Заголовки ввести название диаграммы и наименования осей координат с указанием единиц измерения величин, откладываемых по этим осям:

—в поле Название диаграммы — График зависимости v от t;

—в поле Ось X (категорий) — Время t, (с);

в поле Ось Y (значений) — Скорость v, (м/c).

 

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре:

 

 

Учтем, что t для разных задач нужно выбирать индивидуально. Если в задаче о безпарашютисте можно t взять равным 2 сек., то в задаче о парашютисте t равно 0.2 сек, т.к. скорость меньше.

Примерно через 20 сек. после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости заменился бы касательной к нему в начале координат.