Задача3. Анализ трёхфазной электрической цепи при схеме соединения приёмников «звездой».

В трёхфазную сеть с симметричной системой линейных напряжений U_л включён трёхфазный потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления Z_a, Z_b, Z_c и соединены «звездой».

Определить:

1) линейные и фазные токи,

2) активную Р, реактивную Q и полную S мощности потребителя.

3) показания приборов: амперметра и вольтметра.

4) Построить векторную диаграмму токов и напряжений

III. Краткие теоретические положения.

3.1 Трёхфазная система питания потребителей электроэнергии.

Трёхфазная система питания электрических цепей представляет собой совокупность трёх синусоидальных ЭДС или напряжений, одинаковых по частоте и амплитудному значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 120^°.

;

В симметричных источниках питания максимальные значения ЭДС равны, соответственно равны и действующие значения ЭДС:

Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, можно принять соответствующие ЭДС источника равными напряжениям, действующим на его зажимах:

; ; .

Комплексные напряжения симметричного источника питания могут быть представлены системой уравнений:

;

Фазным называется напряжение между началом и концом фазы. Линейным назовём напряжение между двумя линиями или между началами двух фаз. Соотношение между линейным и фазным напряжениями симметричного источника питания:

3.2 Трёхфазные электрические цепи при соединении фаз приёмников «звездой».

При соединении фаз трёхфазного источника питания «звездой» концы фаз источника X, Y, Z объединены в общую нейтральную точку N, а начала фаз А, В, С подключаются к соответствующим линейным проводам Аа, Вв, Сс. Аналогичным образом при соединении трёхфазных потребителей объединяются в нейтральную точку n концы его фаз x, y, z, при начала фаз а, в, с подключаются к линейным проводам.

Линейные токи I_n в питающих линиях имеют условно-положительное направление от источника энергии к приёмнику. При соединении приёмника энергии по схеме «звезда» линейные токи I_A, I_B, I_C одновременно являются и фазными токами приёмника I_a, I_b, I_c, т.е.

; ; .

Трёхфазные источники питания практически всегда выполняются симметричными. Трёхфазные потребители электроэнергии могут быть симметричными и несимметричными. Для симметричных приёмников электроэнергии справедливы соотношения, полученные для трёхфазных симметричных источников питания.

При этом

;

Для несимметричных приёмников не все эти соотношения соблюдаются.

При анализе трёхфазных электрических цепей широко используется метод комплексных чисел.

При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз приёмника не одинаковы (), при этом комплексное напряжение , действующее между нейтральными точками N и n системы, определяют по методу двух узлов

где , , – комплексные напряжения источника питания;

, , – комплексные проводимости фаз приемника.

Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n цепи:

Комплексные фазные напряжения приёмника электроэнергии находят из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура:

; ;

При этом фазные токи приёмника определяют по закону Ома для соответствующих участков цепи:

; ;

Трёхфазная система обеспечивает приёмники электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учётом знака реактивных сопротивлений:

;

Где ; ; ; ; ; .

При симметричной нагрузке эти формулы приводят к виду:

;

где ; .

Рисунок 3 – Электрическая схема к задаче № 3

Таблица 3.

№ варианта	Z_a, Ом	Z_b, Ом	Z_c, Ом	U_Л, В
	15+j10	10-j20	j40
	10-j10	20+j20	10e^j30°
	15-j20		20e^j45°
	20+j10	j30
		10e^j45°	10-j20
	4e^j40°	-j20	15+j10
	20e^-j30°	j15	10+j10
	10e^j90°	10+j15
	j40	15e^-j45°	40-j10
	-j20	10e^j30°
	10-j10	10+j10	15e^j45°
	20+j20		20e^j30°
	10e^-j90°	10+j20
	15e^j60°		-j30
	25e^j45°	10+j30	10e^j90°
	10+j10	10-j10
	20-j20	10+j10	20-j10
	5-j10	10+j5	10e^j45°
	25+j25	10-j20	30e^j30°
	20e^j30°	10+j20	30e^-j30°
		40-j20	20+j40
	10+j30	20e^-j90°
		10-j20	30+j10
	30-j10		20+j20
	40-j20	30e^j45°
		20e^j30°	30e^-j60°
		20+j10	30-j30
		10+j30	30e^-j90°
	20-j20		50e^j90°
	50e^j90°		40-j10
		20+j10	50e^j90°
	20e^j30°		20+j40
	30-j10	10+j10	30e^j30°
	10-j20	30e^-j30
	30e^j30°		10+j10
		30e^j30	20+j30
	10-j40		10e^j⁵⁰
	20e^j²⁰	40+j10
	25+j30	30e^j30	45-j25
	30+j30		25e^j⁹⁰
	10-j30	15e^j30	10+j10
	25+j15		15e^j⁴⁵
	25e^j²⁰	15+j20
	5+j15	30e^j⁶⁰	10-j15
	15+j5		60e^j⁶⁰
	20e^j¹⁵⁰	20-j15
	25+j5	15e^j⁹⁰	5+j25
	25e^j⁶³⁰		45e^j⁴⁵
		15-j20	45e^j⁶⁰
		30e^j⁶⁰	25+j10
	15+j5		25e^j⁶³⁰
		15-j20	5e^j⁶³⁰
	15-j20	25e^j⁶³⁰	15+j5