Как же получить запись числа в двоичной системе счисления?

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную (1-й способ). Этот способ перехода от записи числа в десятичною системе счисления к записи его в двоичной системе состоит в представлении числа в виде суммы степеней двойки и последующем выделении коэффициентов такого представления. Продемонстрируем этот способ на примерах:

А) 27₁₀ = (1· 2⁴ + 1· 2³ +0· 2² +1· 2¹ +1· 2⁰)₁₀ =11011₂

В) 12,25₁₀ = (8 + 4+ 1/4)₁₀ = (2³ + 2² + 2^-2)₁₀ =

= (1· 2³ + 1· 2² + 0· 2¹ + 0· 2⁰ + 0· 2^-1 + 1· 2^-2)₁₀ = 1100,01₂.

2-й способ:

Перевод целых чисел. Пусть требуется найти представление числа 12₁₀ в двоичной системе счисления.

Поступаем следующим образом: делим, начиная с 12, каждое получающееся частное на основание системы, в которую переводим число, то есть на 2. Получаем:

Затем в направлении, указанном стрелкой, начиная с последнего частного (в нашем случае оно всегда будет равно 1), записываемого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ: 12₁₀= 1100₂.

Оба способа правильны и допустимы. Поэтому мы вправе выбрать его по своему усмотрению.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Это перевод – как бы обратный к изложенному выше. Его наиболее просто осуществить, основываясь на позиционности двоичной системы счисления. Уже отмечалась правомерность записи двоичного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы:

101₂=(1· 2² +0· 2¹ + 1· 2⁰)₁₀=(4+1)₁₀=5₁₀

1101₂=(1· 2³ + 1· 2² + 0· 2¹ + 1· 2⁰)₁₀ = (8+4)₁₀=12₁₀

1000001001,101₂ = (1· 2⁹ + 0· 2⁸ + 0· 2⁷ + 0· 2⁶ + 0· 2⁵+ 0· 2⁴ + 1· 2³ + 0· 2² + 0· 2¹ + 1· 2⁰ 1· 2^-1 + 0· 2^-2 +1· 2^-3)₁₀ = (512 + 8 + 1 + 1/2 + 1/8)₁₀ = (521+5/8)₁₀ = (521,625)₁₀

(Заметим, что, несмотря на длину исходной двоичной записи, степени числа 2 легко подсчитываются без калькулятора, которого может не оказаться под рукой.)

Действительно, известно, что

2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷=128,

2⁸ = 256, 2⁹=512, 2¹⁰ = 1024.

Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:

C= C_n Pⁿ +C_n-1 P^n-1 +…+C₁ P¹ +C₀ P⁰ +C_-1 P^-1 +…+C_-m P^-m,

или

где в качестве C_i могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

* положительные значения индексов - для целой части числа (n разрядов);

* отрицательные значения - для дробной (m разрядов).

В вычислительных системах применяются две формы представления чисел:

· естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);

· нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

C = C_n C_n-1 …C₁ C_0, C_-1… C_-m

Запятая опускается, если дробная часть отсутствует. Позиции цифр в такой записи называются разрядами. Разряды нумеруются влево от запятой, начиная с нуля: 0-й,1-й,...(n-1)-й, n-й; и вправо от запятой: 1-й, 2-й,...(m-й).

Значение C_i цифры c_i в позиционных системах счисления определяется номером разряда:

C_i = с_i Рⁱ.

Величина Pⁱ называется весом, или значением, i-го разряда. В позиционных системах счисления значения соседних разрядов отличаются в P раз: левый в P раз больше правого.

Пример 3.1. Десятичная система счисления.

Р=10.

Цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

723,19₁₀ =7×10² +2×10¹ +3×10⁰ +1×10^-1 +9×10^-2.

Пример 3.2. Двоичная система счисления.

Р=2.

Цифры: 0,1.

101110,101₂ = 1×2⁵ +0×2⁴ +1×2³ +1×2² +1×2¹ +0×2⁰ +1×2^-1 +0×2^-2 +1×2^-3

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема в вычислениях.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в n разрядах:

N_max = Pⁿ -1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в m разрядах дробной части:

N_min = P^-m.

Имея в целой части числа n, а в дробной части m разрядов, можно записать всего P^n+m разных чисел.

Пример 3.3. Двоичная система счисления.

Р = 2.

n = 10, m = 6.

Возможное для представления значение N лежит в пределах:

0,015<N<1024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, а вторая порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так: ,

где M - мантисса числа (|М| <1);

r - порядок числа (r - целое число);

P - основание системы счисления.