Нахождение неизвестных. Порядок действий в выражении. Употребление скобок.

Нахождение неизвестного слагаемого. a – слагаемое, x – слагаемое, b – сумма.

a+x=b, x = b – a; x + a = b, x = b – a.

Нахождение неизвестного уменьшаемого. x – уменьшаемое, a – вычитаемое, b – разность.

x – a = b, x = b + a.

Нахождение неизвестного вычитаемого. a – уменьшаемое, x – вычитаемое, b – разность.

a – x = b, x = a - b.

Нахождение неизвестного множителя. a – множитель, x – множитель, b – произведение.

a × x = b, x = b: a, x × a = b, x = b: a.

Нахождение неизвестного делимого. a – делитель, x – делимое, b – частное.

x: a = b, x = b × a.

Нахождение неизвестного делителя. a – делимое, x – делитель, b – частное.

a: x = b, x = a: b.

Сложение и вычитание — действия первой ступени (I). Умножение и деление — действия второй ступени (II). Возведение в степень — действие третьей ступени (III). Сначала выполняются действия высших ступеней, а затем низших ступеней (III, II, потом I). Если в выражение есть скобки, то сначала производятся действия в скобках, соблюдая ступени действий.

Степень с натуральным показателем. aⁿ

Произведение n множителей, каждый из которых равен a.

a – основание степени, n- показатель степени.

a ¹ = а.

а^т ·а" = а^{т + п}.

а^т:а" = а^m-n.

(а^т)^п = а^тп.

Уравнения и системы уравнений.

Тождеством называется равенство верное при любых значениях входящих в него переменных.

Уравнением с одним неизвестным называется равенство, содержащее обозначенное буквой неизвестное число, которое требуется найти.

Корнем уравнения называется число, подстановка которого вместо буквы превращает уравнение в верное равенство.

Решить уравнение - это, значит, найти все его корни или убедится, что их нет.

Равносильными называются уравнения, у которых одни и те же корни.

ax+b=0 – линейное уравнение с одной переменной,

x – переменная, a,b- некоторые числа.

Если a≠0, то единственный корень x=

Если a=0 и b≠0, то уравнение не имеет корней,

Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней.

Квадратный трехчлен ах² + bх + с (a≠0) и квадратное уравнение ах² +bх + с = 0 (a≠0) D — дискриминант, x_l и х₂ — корни.

D = b²-4ac.

Если коэффициент b — четный, удобно пользоваться формулами:

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении b=0 или c = 0 или b=c=0, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.

ах² + с = 0; ах² +bх = 0; ах² = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители (х₁, х₂ — корни)

Если D > О, то ах² + bх + с = а(х — х₁)(х - х₂).

Если D= О, то ах² + bх + с = а(х — х₁)².

Теорема Виета (свойство корней квадратного уравнения)

Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах² +bх + с = 0, то

.

Теорема, обратная теореме Виета (признак квадратного уравнения)

Если m и n таковы, что , то числа m и n – корни квадратного уравнения ах² +bх + с = 0.

Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется два уравнения, которые рассматриваются совместно и в которых неизвестные числа одни и те же.

Решением системы называется пара чисел, которая при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её корни или доказать, что их нет.

Способ подстановки: выражаем одно неизвестное из одного урав-нение через другое неизвестное, подставляем в другое уравнение, решаем полученное уравнение с одним неизвестным, полученное значение неизвестного подставляем в первое и находим второе неизвестное.

Способ сложения: рассматриваем новую систему, в которой при одном из неизвестных коэффициенты равные, но разные по знаку, для этого умножаем уравнения на различные числа, складываем почленно полученные равенства, получаем уравнение с одной переменной, находим её и подставляем полученное значение в уравнения системы, получаем вторую переменную.

Графический способ: строим графики функций, задающих каждое из уравнений системы, находим координаты точек пересечения построенных графиков (если они есть), абсцисса и ордината точек пересечения – решение системы. Графический способ дает приближенные результаты.

Функции и графики функций.

y = f(x)

Функция – это зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

x – независимая переменная, аргумент,

y – зависимая переменная, функция.

Область определения функции – все значения аргумента,

Область значений функции – все значения зависимой переменной.

График функции – множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции.

Способы задания функции: графический, табличный, рекуррентный.

Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению x соответствует большее значение f(x), функция называется убывающей на промежутке, если большему значению x соответствует меньшее значение f(x).

Функция называется четной, если при изменении знака x, знак y не изменяется, т.е. f(-x) = f(x), график симметричен относительно оси ординат, функция называется нечетной, если при изменении знака x знак y меняется на противоположный, т.е. f(-x)= -f(x), график симметричен относительно начала координат.

Координатная плоскость

Две перпендикулярные координатные прямые x и y, которые пересекаются в начале отсчета, точке О называют системой координат на плоскости, O –начало координат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел - её координаты, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Линейная функция (график — прямая)

y=kx+b, k,b- некоторые числа.

Область определения - все действительные числа

I. у = kx.
1) k >0 2) k = 0 3) k < 0

 

II. у = kx + b.

1) k > О, b > 0 2) k = 0, b > 0 3) k > 0, b < О

Квадратная функция (график — парабола)

y=x²

Область определения – все действительные числа.

Функция четная, точка (0;0) – вершина параболы.

у = ах², (а≠ 0).

1) а > 0 2) а < 0

Обратная пропорциональность (график - гипербола)

, k – действительное число.

Область определения - все действительные числа, кроме 0

 

1) k > 0

3) k < 0

Квадратный и арифметический корень.

Квадратный и арифметический квадратный корень.

Квадратным корнем из числа a, называется число квадрат которого равен a.

Арифметическим квадратным корнем из числа a, называется неотрицательное число квадрат которого равен a.

.

Погрешности.

Приближенные вычисления и погрешности.

Округление: => с недостатком, если отбрасываемая цифра менее 5, => с избытком, если отбрасываемая цифра больше 5. Округлить:

а) до десятых 12,34; 12,34»12,3

б) до сотых 3,2465; 3,2465»3,25

в) до тысячных 3,4335; 3,4335»3,434

г) до тысяч 12375; 12375»12000.

Абсолютная погрешность - разность между точным значением и приближённым значением числа, взятая по модулю.

Относительная погрешность а/½a½ — отношение абсолютной погрешности к величине приближённого числа (выражается в процентах).

Прогрессии.

Ряд чисел, в котором для каждого числа можно указать его порядковый номер в этом ряду, называют числовой последовательностью.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с некоторым действительным числом – d.

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на некоторое, не равное нулю действительное число – q.

Арифметическая прогрессия

Обозначения: (а„): а₁, а₂,... а_n

a ₁ — первый член прогрессии

а_n — п-й член прогрессии

d — разность арифметической прогрессии

S_n — сумма п первых членов прогрессии

Если, d = 0, то

Геометрическая прогрессия

Обозначения: (b_n): b₁ b₂... b_n,....

b₁ — первый член прогрессии

b_n — n -й член прогрессии

q — знаменатель геометрической прогрессии

S_n — сумма п первых членов прогрессии

Сумма S бесконечной геометрической прогрессии, у которой

 

ГЕОМЕТРИЯ.

Отрезок и угол.

Отрезок — часть прямой, ограниченная с двух сторон точками. Точки называются концами отрезка.

Точка отрезка, делящая его пополам, называется серединой отрезка.

Луч — прямая, выходящая из заданной точки и уходящая в бесконечность.

Два отрезка считаются равными, если при наложении они совмещаются всеми точками.

Длина отрезка — число, получаемое в результате измерения, это число показывает сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезка.

Свойства длины:

- Равные отрезки имеют равные длины,

- Меньший отрезок имеет меньшую длину,

- Если отрезок разделен точками на части, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

Угол — фигура образованная двумя лучами или отрезками (стороны угла), выходящими из одной точки (вершина угла).

Два угла называются равными, если при наложении они совпадают.

Развёрнутый угол — угол, одна сторона которого является продолжением другой.

Смежными углами называются два прилежащих угла, не­ совпадающие стороны которых образуют прямую.

Сумма смежных углов равна 180°

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым.

Вертикальные углы — у которых стороны являются продол­жением сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны.

1° — единица измерения угла в градусной системе — это угол, составляющий 1/360 часть полного угла. Дуга центрального угла в 1°составляет 1/360 часть дуги окружности.

1’ — 1/60 часть градуса, (одна минута). 1" — 1/3600 часть градуса (одна секунда). 1 рад — это такой центральный угол, дуга которого равна радиусу окружности.

360° эквивалентно 2p рад. Следовательно:

Развёрнутый угол — 180°, прямой угол — 90°, острый угол — угол содержащий < 90°, тупой угол — угол содержащий > 90°, но <180°

Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данный угол.

Свойства градусной меры угла:

- Равные углы имеют равные градусные меры,

- Меньший угол имеет меньшую градусную меру,

- Если угол делится лучами на части, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер его частей.

Треугольник и его свойства.

Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и попарно соединенных отрезками.

Точки – вершины, отрезки – стороны треугольника.

Остроугольный D — если все углы острые. Тупоугольный D — если один из его углов тупой. Прямоугольный D — если один из углов прямой. Стороны образующие прямой угол — катеты. Третья сторона — гипотенуза. Равнобедренный D — две стороны равны. Равносторонний D все три стороны равны. Теорема: Во всяком D сумма углов равна 180° или p радиан.

Высота треугольника -это перпендикуляр, опущенный из любой вершины D на противолежащую сторону или на её продолжение. Три высоты D всегда пересекаются в одной точке, которая называете
ортоцентром. Ортоцентрв: тупоугольном D — вне D; остроугольном D — внутри D; прямоугольном D — вершина прямой угла.

Медиана треугольника -отрезок, соединяющий произ­вольную его вершину с серединой противолежащей стороны. Три медианы D пересекаются в одной точке, эта точка всегданаходится внутриD, являясь его центром тяжести. Свойство: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в соотношении 2:1 (считая от вершин).

В прямоугольном D медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Биссектриса треугольника -называется отрезок биссектрисы любого угла этого D от вершины до пересечения с противопо-ложной стороной. Все три биссектрисы D пересекаются в одной точке, лежащей всегда внутри D и являющейся центром вписанной окружности.

Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух сторон этого треугольника.

Свойства средней линии D:

· средняя линия D параллельна его основанию,

· средняя линия D равна половине его основания.

Внешний угол треугольника – смежный с любым внутренним углом.

Всякий внешний угол D равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Если два угла одного D соответственно равны двум углам другого D, то третьи углы равны. Сумма острых углов в прямоугольном D равна 90°. В равнобе­дренном прямоугольном D каждый острый угол равен 45°.

Теорема: если в прямоугольном D один из острых углов равен 30", то лежащий против этого угла катет составляет половину гипотенузы.

Признаки равенства двух треугольников.

Два D равны, если у них соответственно равны:

I. — Две стороны и угол между ними.

II. — Два угла и прилежащая к ним сторона.

III. — Три стороны.

IV. — Два угла и сторона, противолежащая одному из них.

V. — Две стороны и угол, лежащий против большей из них.)

Два прямоугольных D равны в следующих четырёх случаях

(частные случаи I — V признаков):

1) Если катеты одного D соответственно равны катетам другого D

2) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного D соответ-ственно равен катету и прилежащему к нему острому углу другого D

3) Если гипотенуза и острый угол одного D соот­ветственно равны гипотенузе и острому углу другого D.

4) Если гипотенуза и катет одного D соответственно равны гипотенузе и катету другого D.

Косинусом острого угла прямоугольного D называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Синусом острого угла прямоугольного D называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного D называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла прямоугольного D называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c²= a² + b²

Обратная теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Признаки равнобедренного треугольника:

· если равны углы при основании, то D равнобедренный,

· если в D биссектриса и высота, высота и медиана, медиана и биссектриса, проведенные из вершины равны, то D равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника:

· если D равнобедренный, то углы при основании равны,

· если D равнобедренный, то биссектриса и высота, высота и медиана, медиана и биссектриса, проведенные из вершины равны.

Подобие треугольников.

Если углы одного из двух данных D соответственно равны углам другого, то те их стороны, которые лежат против равных углов, называются сходственными сторонами. Два треугольника называются подобными, если их соответствен­ные углы равны и стороны одного пропорциональны сходствен­ным сторонам другого.

Признаки подобия D. Два треугольника подобны если:

1. Два угла одного D соответственно равны двум углам другого D.

2. Две стороны одного D соответственно пропорциональны двум сторонам другого D и углы, заключённые между этими сторонами равны.

3. Три стороны одного D соответственно пропорциональны трём сторонам другого D.

Теорема: В любом D против большей стороны лежит больший угол, обратно - против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном D гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника: каждая сторона D меньше суммы двух других сторон.

Теорема косинусов: Квадрат стороны D равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. a² = b² + c² – 2bc cosa

Теорема синусов: стороны D пропорциональны синусам противолежащих углов.

Площадь треугольника:

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться одной из следующих формул:

1. S = (l/2)bh_b (b — основание D, h_b —соответствующая высота)

2. S = (l/2)absinC, где а и b — стороны, С — угол между ними.

3. S = рг, где р = (а + b + с)/2 полупериметр, г — радиус вписанной
окружности.

4. S = abc/4R, где а, Ь, с —стороны, R — радиус описанной
окружности.

5. (формула Герона), где а, b, с —
стороны, р — полупериметр.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их сходс-твенных линейных элементов: сторон, высот, медиан, биссектрис и т. д.

Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма:

· Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пресечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

· Если противолежащие стороны попарно равны, то четырехугольник параллелограмм,

· Если две противолежащие стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм,

· Если противолежащие углы равны.

Свойства параллелограмма:

· Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,

· Противолежащие стороны равны,

· Противолежащие углы раны.

Площадь параллелограмма.

S = a × h_a (a –сторона, h_a – высота параллелограмма).

S = a × b × sin g (a, b – стороны, g- угол между ними).

S = (d₁ × d₂ ×sin j)/2 (d₁, d₂ – диагонали параллелограмма, j- угол между ними).

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника:

· Диагонали прямоугольника равны,

Площадь прямоугольника:

S = a × b (a, b –стороны прямоугольника).

S = (d² ×sin a)/2 (d – длина диагонали прямоугольника, a - угол между диагоналями).

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

· Диагонали ромба пересекаются под прямым углом,

· Диагонали являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

S = a × h_a (a –сторона, h_a – высота ромба).

S = a² × sin g (a – сторона, g- угол ромба).

S = (d₁ × d₂)/2 (d₁, d₂ – диагонали ромба).

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Свойства квадрата:

· Диагонали равны,

· Диагонали пересекаются под прямым углом,

· Диагонали являются биссектрисами углов.

Площадь квадрата:

S = a² (a –сторона квадрата).

S = d²/2 (d– диагональ квадрата).

Трапеция - четырёхугольник, две противоположные стороны кото­рого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные сто­роны — основания, не параллельные — боковые стороны, h — высота; MN — средняя линия трапеции. Средняя линия - соединяет середины боковых сторон. Средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им: m = (а + b)/2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Трапеция, у которой хотя бы один угол прямой, называется прямоугольной.

Площадь трапеции:

S = l/2(a+b)h (a,b- основания, h – высота трапеции).

S=mh. (m – средняя линия, h - высота трапеции).