Лабораторная работа 3. Представление информации в двоичной системе счисления

Цель работы

Научиться переводить десятичные числа в двоичную систему счисления и обратно, производить вычисления в двоичной системе счисления, применять приложение Калькулятор при переводе чисел из одних систем счисления в другие.

Теоретическая справка

Система счисления — это знаковая система, в кото­рой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называе­мых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: непозиционные ипозиционные.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа (римская система счисления).

В позиционных системах счисления количественный эк­вивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Перевод целых чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в де­сятичной системе счисления и все последующие дейст­вия производить в десятичной системе счисления;

2) Последовательно выполнять деление данного числа и по­лучаемых неполных частных на основание новой системы счис­ления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) Поставить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример: перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную в теоретической справке последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так: 11₁₀ = 1011₂

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂=(1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

Перевод дробных чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления

2) Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представле­ния числа в новой системе счисления;

3) Полученные целые части произведений, являющиеся циф­рами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную.

 

	*2
	*2
	*2
	*2

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Отсюда: 0,1875₁₀ = 0,0011₂.

2.1.7 Арифметические операции в позиционных системах счисления

Сложение.

 

 

Пример: сложим числа 15 и 6 в двоичной системе

1111₂+110₂

Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21

Вычитание.

Рассмотрим примеры на вычитание.

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Умножение.

 

 

Перемножим числа 5 и 6 в двоичной системе

101₂*110₂

 

Проверка: 11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30

Деление.

Используя таблицу вычитания и таблицу умножения для двоичных чисел, делим подобно тому, как мы делим десятичные числа.

Разделим 14 на 2 в двоичной системе

Стандартное приложение Windows — Калькулятор.
Калькулятор предназначен для выполнения математических вычислений — от самых простых, в одно-два действия, до сложных инженерных расчетов. Окно приложения Калькулятор может находиться в одном из двух состояний: обычный (рис. 1)

Рисунок 1 – Приложение «Калькулятор» состояние обычный.

или инженерный (рис. 2). Выбор вида окна Калькулятора осуществляется с помощью пункта Вид главного меню.

Рисунок 2 - Приложение «Калькулятор» состояние инженерный.

Окно приложения Калькулятор очень похоже на настоящий калькулятор. Арифметические примеры можно вводить, нажимая соответствующие кнопки Калькулятора, или клавиши алфавитно-цифровой части клавиатуры, или с дополнительной клавиатуры при включенном режиме NumLock. Рассмотрим окно Калькулятора в обычном состоянии (рис. 1).

· В центре расположены кнопки с цифрами (от 1 до 9) и кнопки + / - (смена знака числа) и, (запятая).

· Справа расположены кнопки вычисления некоторых функций, с которыми вы познакомитесь в старших классах, кнопка результата =, а также кнопки со знаками арифметических действий:

o / — деление;

o * - умножение;

o - — вычитание;

o + — сложение.

· Вверху расположены кнопки:

o (Backspace) — стирает последнюю цифру набранного числа;

o (СЕ) - стирает последнее набранное число;

o (С) - стирает результат предыдущих вычислений (он не виден на экране, но Калькулятор его "помнит"), записывает число 0 в строку ввода и подготавливает Калькулятор к новому вычислению.

· Слева расположены кнопки:

o MS — сохраняет число в памяти (записывает набранное число или результат вычислений в память);

o MR — вызывает число из памяти (записывает в строку ввода число, хранящееся в памяти; при этом оно остается записанным и в памяти);

o MC — очищает память (удаляет число, хранящееся в памяти, и записывает в память число 0);

o М+ — прибавляет число из строки ввода к числу, хранящемуся в памяти, и сохраняет результат в памяти. Число в строке ввода не изменяется.

Инженерный калькулятор(рис.2). Если в процессе работы на стандартном калькуляторе возникла необходимость вычисления какой-либо функции, то можно переключиться на использование инженерного калькулятора (с помощью команды Инженерный меню Вид). При этом все результаты будут автоматически перенесены на индикатор и в память инженерного калькулятора.

Инженерный калькулятор, кроме строки меню и индикатора, содержит три безымянные области с опциями: Hex (Шестнадцатеричное), Dес (Десятичное), Oct (Восьмеричное), Bin (Двоичное); Deg (Градусы), Rad (Радианы), Grad (Градиенты) и Inv (Инвертировать), Hyp (Гиперболический), а также расширенную клавиатуру.

Опции в первой области предназначены для выбора системы представления чисел и соответствующей системы счисления. Наряду с традиционным десятичным (Dec) представлением можно выбрать шестнадцатеричное (Hex), восьмеричное (Oct) или Двоичное ( Bin ). Щелчком мыши на соответствующей опции можно производить переключение между четырьмя возможными системами счисления.

Опции второй области предназначены для работы с тригонометрическими функциями и позволяют выбрать единицу измерения углов: в градусах (Deg), радианах (Rad) или градах ( Grad ), но только в десятичной системе счисления.

При выборе шестнадцатеричной, восьмеричной и двоичной систем представления чисел опции во второй области заменяются на опции Dword (Двойное слово), Word (Слово) и Byte (Байт), устанавливающие разрядность обрабатываемых чисел соответственно:

	Dword — 32-битовые числа;
	Word — 16-битовые числа;
	Byte — 8-битовые числа.

Опции Inv и Hyp активизируют дополнительные функции инженерного калькулятора:

	Опция Inv позволяет вычислять обратные функции.
	Опция Hyp переключает калькулятор на вычисление гиперболических функций (синус, косинус, тангенс).

Статистические операции

После щелчка на клавише Sta активизируются статистические функции, и открывается дополнительное окно Статистика.

Это окно можно переместить так, чтобы оно не мешало вводить данные в калькулятор. В окне отображается список данных, вводимых в калькулятор (ввод оканчивается щелчком мыши на клавише DAT ).

Кнопки в окне Статистика имеют следующие значения:

	RET — позволяет переключиться в окно калькулятора;
	LOAD — копирует в калькулятор отмеченные числа;
	CD — удаляет отмеченные числа;
	CAD — удаляет все числа.

После ввода данных становятся доступными статистические вычисления, проводимые с помощью следующих клавиш научного калькулятора:

	Ave — позволяет рассчитать среднее значение при установленной опции Inv —среднее значение квадратов;
	Sum — позволяет вычислить сумму величин при установленной опции Inv —сумму квадратов;
	S — позволяет вычислить стандартное отклонение для n-1 при установленной опции Inv — стандартное отклонение для n.

Логические операции

Инженерный калькулятор имеет следующие кнопки для выполнения логических операций:

	And — предназначена для выполнения логической операции И;
	OR — предназначена для выполнения логической операции ИЛИ;
	NOT — предназначена для выполнения логического отрицания НЕ;
	XOR — предназначена для выполнения логической операции Исключающее ИЛИ;
	Lsh — сдвигает отображаемое значение на количество двоичных разрядов, задаваемых последующим целым числом.

Ход работы

1. В соответствии с вариантом произвести перевод чисел из десятичной СС в двоичную СС, из двоичной СС в десятичную СС.

2. Произвести арифметические операции над числами в двоичной системе счисления, выполните проверку.

3. Проверить выполненную работу, используя приложение «Калькулятор».

4. Оформить отчёт письменно. Подготовить устные ответы на контрольные вопросы.