Цель работы
Научиться переводить десятичные числа в двоичную систему счисления и обратно, производить вычисления в двоичной системе счисления, применять приложение Калькулятор при переводе чисел из одних систем счисления в другие.
Теоретическая справка
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: непозиционные ипозиционные.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа (римская система счисления).
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.
Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления.
Перевод целых чисел.
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2) Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
3) Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4) Поставить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Пример: перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную в теоретической справке последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так: 1110 = 10112
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.
Пример: перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:
101101102=(1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210
Перевод дробных чисел.
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления
2) Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
3) Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4) Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную.
| *2 | |
| *2 | |
| *2 | |
| *2 | |
Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.
Отсюда: 0,187510 = 0,00112.
2.1.7 Арифметические операции в позиционных системах счисления
Сложение.
Пример: сложим числа 15 и 6 в двоичной системе
11112+1102
Проверка: Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21
Вычитание.
Рассмотрим примеры на вычитание.
При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.
Умножение.
Перемножим числа 5 и 6 в двоичной системе
1012*1102
Проверка: 111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30
Деление.
Используя таблицу вычитания и таблицу умножения для двоичных чисел, делим подобно тому, как мы делим десятичные числа.
Разделим 14 на 2 в двоичной системе
Стандартное приложение Windows — Калькулятор.
Калькулятор предназначен для выполнения математических вычислений — от самых простых, в одно-два действия, до сложных инженерных расчетов. Окно приложения Калькулятор может находиться в одном из двух состояний: обычный (рис. 1)
Рисунок 1 – Приложение «Калькулятор» состояние обычный.
|
или инженерный (рис. 2). Выбор вида окна Калькулятора осуществляется с помощью пункта Вид главного меню.
|
Рисунок 2 - Приложение «Калькулятор» состояние инженерный.
Окно приложения Калькулятор очень похоже на настоящий калькулятор. Арифметические примеры можно вводить, нажимая соответствующие кнопки Калькулятора, или клавиши алфавитно-цифровой части клавиатуры, или с дополнительной клавиатуры при включенном режиме NumLock. Рассмотрим окно Калькулятора в обычном состоянии (рис. 1).
· В центре расположены кнопки с цифрами (от 1 до 9) и кнопки + / - (смена знака числа) и, (запятая).
· Справа расположены кнопки вычисления некоторых функций, с которыми вы познакомитесь в старших классах, кнопка результата =, а также кнопки со знаками арифметических действий:
o / — деление;
o * - умножение;
o - — вычитание;
o + — сложение.
· Вверху расположены кнопки:
o (Backspace) — стирает последнюю цифру набранного числа;
o (СЕ) - стирает последнее набранное число;
o (С) - стирает результат предыдущих вычислений (он не виден на экране, но Калькулятор его "помнит"), записывает число 0 в строку ввода и подготавливает Калькулятор к новому вычислению.
· Слева расположены кнопки:
o MS — сохраняет число в памяти (записывает набранное число или результат вычислений в память);
o MR — вызывает число из памяти (записывает в строку ввода число, хранящееся в памяти; при этом оно остается записанным и в памяти);
o MC — очищает память (удаляет число, хранящееся в памяти, и записывает в память число 0);
o М+ — прибавляет число из строки ввода к числу, хранящемуся в памяти, и сохраняет результат в памяти. Число в строке ввода не изменяется.
Инженерный калькулятор(рис.2). Если в процессе работы на стандартном калькуляторе возникла необходимость вычисления какой-либо функции, то можно переключиться на использование инженерного калькулятора (с помощью команды Инженерный меню Вид). При этом все результаты будут автоматически перенесены на индикатор и в память инженерного калькулятора.
Инженерный калькулятор, кроме строки меню и индикатора, содержит три безымянные области с опциями: Hex (Шестнадцатеричное), Dес (Десятичное), Oct (Восьмеричное), Bin (Двоичное); Deg (Градусы), Rad (Радианы), Grad (Градиенты) и Inv (Инвертировать), Hyp (Гиперболический), а также расширенную клавиатуру.
Опции в первой области предназначены для выбора системы представления чисел и соответствующей системы счисления. Наряду с традиционным десятичным (Dec) представлением можно выбрать шестнадцатеричное (Hex), восьмеричное (Oct) или Двоичное ( Bin ). Щелчком мыши на соответствующей опции можно производить переключение между четырьмя возможными системами счисления.
Опции второй области предназначены для работы с тригонометрическими функциями и позволяют выбрать единицу измерения углов: в градусах (Deg), радианах (Rad) или градах ( Grad ), но только в десятичной системе счисления.
При выборе шестнадцатеричной, восьмеричной и двоичной систем представления чисел опции во второй области заменяются на опции Dword (Двойное слово), Word (Слово) и Byte (Байт), устанавливающие разрядность обрабатываемых чисел соответственно:
| Dword — 32-битовые числа; | |
| Word — 16-битовые числа; | |
| Byte — 8-битовые числа. |
Опции Inv и Hyp активизируют дополнительные функции инженерного калькулятора:
| Опция Inv позволяет вычислять обратные функции. | |
| Опция Hyp переключает калькулятор на вычисление гиперболических функций (синус, косинус, тангенс). |
Статистические операции
После щелчка на клавише Sta активизируются статистические функции, и открывается дополнительное окно Статистика.
Это окно можно переместить так, чтобы оно не мешало вводить данные в калькулятор. В окне отображается список данных, вводимых в калькулятор (ввод оканчивается щелчком мыши на клавише DAT ).
Кнопки в окне Статистика имеют следующие значения:
| RET — позволяет переключиться в окно калькулятора; | |
| LOAD — копирует в калькулятор отмеченные числа; | |
| CD — удаляет отмеченные числа; | |
| CAD — удаляет все числа. |
После ввода данных становятся доступными статистические вычисления, проводимые с помощью следующих клавиш научного калькулятора:
| Ave — позволяет рассчитать среднее значение при установленной опции Inv —среднее значение квадратов; | |
| Sum — позволяет вычислить сумму величин при установленной опции Inv —сумму квадратов; | |
| S — позволяет вычислить стандартное отклонение для n-1 при установленной опции Inv — стандартное отклонение для n. |
Логические операции
Инженерный калькулятор имеет следующие кнопки для выполнения логических операций:
| And — предназначена для выполнения логической операции И; | |
| OR — предназначена для выполнения логической операции ИЛИ; | |
| NOT — предназначена для выполнения логического отрицания НЕ; | |
| XOR — предназначена для выполнения логической операции Исключающее ИЛИ; | |
| Lsh — сдвигает отображаемое значение на количество двоичных разрядов, задаваемых последующим целым числом. |
Ход работы
1. В соответствии с вариантом произвести перевод чисел из десятичной СС в двоичную СС, из двоичной СС в десятичную СС.
2. Произвести арифметические операции над числами в двоичной системе счисления, выполните проверку.
3. Проверить выполненную работу, используя приложение «Калькулятор».
4. Оформить отчёт письменно. Подготовить устные ответы на контрольные вопросы.
