Машинные операции с двоичными числами

 

Арифметические действия над целыми числами

Обратный и дополнительный коды применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства (АЛУ) компьютера путем замены некоторых арифметических операций сложением.

Обычно десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в двоичный код (целые без знака), обратный или дополнительный код (целые со знаком) и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе результатов из машины происходит обратное преобразование в десятичные числа.

 

Сложение и вычитание чисел без знака

Сложение и вычитание беззнаковых чисел происходит по обычным для позиционных систем счисления алгоритмам.

Пример

 

Ситуации, когда уменьшаемое меньше вычитаемого или когда результат суммы не умещается в отведенное количество разрядов, считаются ошибочными и должны отслеживаться устройством компьютера. Реакция на такие ошибки может быть различной в разных типах компьютеров.

 

Сложение и вычитание чисел со знаком в обратном коде

Сложение в обратном коде происходит следующим образом: по обычному алгоритму складываются все разряды, включая знаковый. Результат такого сложения для k-разрядных наборов имеет длину k +1 (самый левый разряд результата равен единице, если был перенос при сложении старших разрядов операндов, иначе – нулю).

Значение левого k +1-го разряда добавляется к младшему разряду результата. Получаем k-разрядный набор, который и будет суммой двух чисел в обратном коде.

Пример

 

Вычитание чисел в обратном коде x – y сводится к сложению x+(–y).

 

Сложение и вычитание чисел со знаком в дополнительном коде

В дополнительном коде сложение происходит так:

1. по обычному алгоритму складываются все разряды, включая знаковый;
2. единица переноса в k +1 разряд отбрасывается (т.е. сложение по модулю 2^k)

Пример

 

При вычитании тоже действует обычный алгоритм, причем если уменьшаемое меньше вычитаемого, к двоичному коду уменьшаемого слева приписывается единица (т.е. добавляется 2^k) и только после этого производится вычитание (такой способ называется вычитание по модулю 2^k).

Пример

 

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат. Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.